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Solución denotemos el ancho de los pasillos mediante

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Solución: denotemos el ancho de los pasillos mediante a y b y consideremos una barra atravesada como en la Figura 3.1. Su longitud es f ( ϕ ) = a sen ϕ + b cos ϕ . El mínimo de esta función en (0 ,π/ 2) nos dará la longitud máxima que pue- de tener una barra para pasar por el codo. Como f es continua en (0 ,π/ 2) y ım x 0 + f ( ϕ ) = l´ ım x π/ 2 - f ( ϕ ) = + , debe tener mínimo absoluto y se alcanza en un punto crítico de f . Ahora bien, la derivada f ( ϕ ) = a cos ϕ sen 2 ϕ + b sen ϕ cos 2 ϕ = a cos 3 ϕ + b sen 3 ϕ sen 2 ϕ cos 2 ϕ se anula únicamente cuando a cos 3 ϕ + b sen 3 ϕ = 0 , es decir tg 3 ϕ = a/b , lo cual da el único punto crítico ϕ 1 = arc tg( 3 radicalbig a/b ) .
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60 Máximos y mínimos Figura 3.1: Pasillos El máximo buscado es f ( ϕ 1 ) = a sen ϕ 1 + b cos ϕ 1 = a radicalBig 1 + ctg 2 ϕ 1 + b radicalBig 1 + tg 2 ϕ 1 = a 2 3 radicalBig a 2 3 + b 2 3 + b 2 3 radicalBig b 2 3 + a 2 3 = ( a 2 3 + b 2 3 ) 3 2 , que para a = 180 cm y b = 120 cm da aproximadamente 421,4 cm y se alcanza para ϕ 1 0 , 85277 radianes, o 48 51’ 37”. Ejercicio 3.3. Una empresa desea construir envases cilíndricos de hojalata de un litro de capacidad, pero minimizando el área total (y por lo tanto la cantidad de lámina de hojalata utilizada). ¿Qué dimensiones deben tener los envases? Ejercicio 3.4. En el plano cartesiano sean A = (0 , 1) y B = (0 , 3) . ¿Desde qué puntos del eje Ox se ve el segmento AB con mayor tamaño aparente? (En otras palabras, ¿para qué puntos C en el eje Ox el ángulo α = ACB toma su mayor valor?) Figura 3.2: Mayor tamaño aparente
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3.4 Algunos ejemplos geométricos 61 El problema de Heron En el plano se dan dos puntos A y B a un mismo lado de una recta r . ¿Para qué punto P de r es mínima la suma AP + PB ? Este problema tiene una solución Figura 3.3: Problema de Heron geométrica muy sencilla: si A es el punto simétrico de A respecto a la recta r , entonces para cualquier punto P en r se tiene AP + PB = A P + PB , y esta suma es mínima cuando se toma como P el punto Q de intersección de la recta A B con r . En efecto, como se ve en la figura, AQ + QB = AB AP + PB por la desigualdad triangular. Veamos ahora cómo puede ser resuelto mediante el cálculo. Tomemos un sistema de coordenadas con la recta r como eje Ox y el eje Oy pasando por A . Entonces A tendrá coordenadas (0 ,a ) y B = ( b,c ) , con a,b,c > 0 . Sea P = ( x, 0) . Entonces la suma de distancias a minimizar es f ( x ) = AP + PB = radicalbig x 2 + a 2 + radicalbig ( x b ) 2 + c 2 . Como f es positiva y tiende a + cuando x → ∞ podemos asegurar que tiene mínimo, y éste se alcanza en un punto singular. Derivando resulta f ( x ) = x x 2 + a 2 + x b radicalbig ( x b ) 2 + c 2 . Es claro que f ( x ) < 0 si x< 0 y f ( x ) > 0 si x> 0 . Por lo tanto el punto mínimo debe pertenecer al intervalo [0 ,b ] . Para hallarlo hay que resolver la ecuación x x 2 + a 2 = b x radicalbig ( x b ) 2 + c 2 , que luego de cambiar de miembro las raíces y elevar al cuadrado queda x 2 (( x b ) 2 + c 2 ) = ( x b ) 2 ( x 2 + a 2 ) ,
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62 Máximos y mínimos y luego de restar x 2 ( x b ) 2 de ambos miembros se reduce a c 2 x 2 = a 2 ( x b ) 2 .
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