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Unformatted text preview: A l’aide de ces grandeurs, on peut construire le tenseur quadratique de la section droite, par exemple, par rapport aux deux droites H~ y 1 et H~ z 1 avec ~ y 1 et ~ z 1 deux directions orthogonales entre elles, on obtient, ¯ ¯ I H = I H,y 1 I H,y 1 z 1 I H,y 1 z 1 I H,z 1 ( ~ y 1 ,~ z 1 ) ⊗ ( ~ y 1 ,~ z 1 ) . (2.23) Les axes principaux d’une section droite, sont les deux axes H~ y et H~ z tels que les termes hors diagonale de ce tenseur sont nuls : ¯ ¯ I H = I H,y I H,z ( ~ y,~ z ) ⊗ ( ~ y,~ z ) . (2.24) Pour la diagonalisation d’une matrice, veuillez consulter vos cours de math. 24 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011 exemple Les calculs d’un moment quadradratique et d’un produit quadratique d’une section triangulaire par rapport `a deux droites passant par sont barycentre sont d´ etaill´ es figures 2.13 et 2.14. Le calcul des directions principales et de l’expression du tenseur d’inertie dans cette base est donn´ ee ci-dessous. Si l’on prend comme dimensions de la section triangulaire a = 3 et b = 2, le programme scilab (demo09.sce) suivant donne A la matrice associ´ ee au tenseur d’inertie dans la base ( ~ y 1 ,~ z 1 ) ⊗ ( ~ y 1 ,~ z 1 ), A 2 la matrice associ´ ee au tenseur d’inertie dans la base ( ~ y,~ z ) ⊗ ( ~ y,~ z ) et X les vecteurs directeurs (en colonne) des deux directions principales. //demo09.sce avec scilab a=3 ;b=2 ; iyy=a*b ∧ 3/36 ;izz=b*a ∧ 3/36 ;iyz=a ∧ 2*b ∧ 2/72 ;izy=iyz ; A=[iyy,iyz ;izy,izz] ; A [A2,X]=bdiag(A) ; A2 X Ceci fournit les r´ esultats : ¯ ¯ I H = . 67 . 5 . 5 1 . 5 ( ~ y 1 ,~ z 1 ) ⊗ ( ~ y 1 ,~ z 1 ) . (2.25) ¯ ¯ I H = . 43 1 . 73 ( ~ y,~ z ) ⊗ ( ~ y,~ z ) . (2.26) ~ y =- . 91 ~ y 1 + 0 . 42 ~ z 1 , (2.27) ~ z =- . 42 ~ y 1- . 91 ~ z 1 . (2.28) Les deux vecteurs sont bien de norme 1. On remarquera dans ce cas que les direction principales ne sont pas parrall` eles `a l’un des bords de la surface consid´ er´ ee. Les valeurs de moments quadratiques autour des deux axes principaux d’inertie sont les deux valeurs extrˆ emes (minimale et maximale) lorsque la base d’expression du tenseur d’inertie tourne autour de l’axe H~x . Assimilation Pour v´ erifier que vous avez assimil´ e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir la partie du brevet 006 associ´ ee au moment quadratique. Si vous avez des difficult´ es, je vous invite `a contacter le r´ ef´ erent du brevet correspondant, dont le m´ el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95. moment polaire Si la section droite est not´ ee S , la normale `a cette section ~x (tangent `a la fibre moyenne), et δ la distance entre un point M de cette section droite et la droite H ~x , alors le moment polaire par rapport `a l’axe H~x I = Z Z S δ 2 dS. (2.29) a la dimension d’une longueur 4 ....
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