D eformations on calcule le tenseur des d eformations

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eformations On calcule le tenseur des d´ eformations du parall´ el´ epip` ede entre P et P 0 de cot´ es d ˜ y , d ˜ z , ds (voir figure 2.21). On ´ evalue dans un premier temps le gradient de ~u , en notant que dx = ds , dy = d ˜ y et dz = d ˜ z . 31 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.19 – Les trois cin´ ematiques des sections droites envisag´ ees, illustr´ ees dans le cas d’une poutre de section droite rectangulaire, sollicit´ ee en flexion et effort tranchant. contraintes On calcule le tenseur des contraintes n´ ecessaire `a l’obtention de ce tenseur des d´ eformations (voir figure 2.22). On utilise pour cela la loi de comportement de l’´ elasticit´ e tridimensionnelle, qui utilise les coefficients de Lam´ e μ et λ . torseur des efforts int´ erieurs L’ensemble des contraintes sur les facettes de normale ~x aux points P 0 de la section droite passant par H 0 , en se cumulant, r´ ealisent les actions du segment seg+ sur le segment seg-. Elles doivent donc ˆ etre ´ equivalentes au torseur des efforts int´ erieurs. Il faut donc faire des int´ egrales sur la section droite (voir figure 2.23). Comme le point H 0 est le barycentre de la section droite, les moments statiques sur l’ensemble de la section sont nuls : ceci fait disparaˆ ıtre quelques int´ egrales. D’autre part, ds pouvant ˆ etre pris infiniment petit, d’autres int´ egrales sont n´ egligeables. Pour les termes de moment, apparaissent les moments quadratiques, le moment polaire et les produit quadratiques de la section droite. Ces derniers sont nuls si les axes ~ y et ~ z sont les directions principales de la sections droite : c’est ce qui est choisi. ´ ecriture matricielle Les 6 ´ equations pr´ ec´ edentes peuvent ˆ etre ´ ecrites sous forme matricielles en faisant apparaˆ ıtre le module de Young E et le coefficient de poisson ν , grˆace aux relations 2.3 les liants aux coefficients 32 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.20 – Calcul du d´ eplacement relatif du point P 0 par rapport au point P . 33 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.21 – Calcul du tenseur des d´ eformations pour la cin´ ematique 1. Figure 2.22 – Calcul du tenseur des contraintes pour la cin´ ematique 1.. 34 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.23 – Calcul du composantes du torseur des efforts int´ erieurs la cin´ ematique 1.. 35 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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de Lam´ e. N T y T z M x M fy M fz = ... (2.30) ... ES ( - 1+ ν ) (1+ ν )( - 1+2 ν ) 0 0 0 0 0 0 ES 2(1+ ν ) 0 0 0 0 0 0 ES 2(1+ ν ) 0 0 0 0 0 0 Ebh ( b 2 + h 2 ) 2(1+ ν )12 0 0 0 0 0 0 Ehb 3 ( - 1+ ν ) 12(1+ ν )( - 1+2 ν ) 0 0 0 0 0 0 Ebh 3 ( - 1+ ν ) 12(1+ ν )( - 1+2 ν ) x γ y γ z α x α y α z , (2.31) incompatibilit´ e Cette cin´ ematique implique que les contraintes σ yy et σ zz ne sont pas nulles dans la section droite, donc `a fortiori sur les surface lat´ erales de la poutre. Or, sur ces surfaces non charg´ ees, les contraintes exerc´ ees par l’air sur la poutre sont nulles. Il y a donc contradiction entre la r´
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