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[复变函数与积分变换].焦红伟&尹景本.文字版.PDF.pdf

复变函数与积分变换 128 128 从而 1 cos d d

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复变函数与积分变换 · 128 · · 128 · 从而 1 ( ) ( )cos ( )d d 2 π f x f x τ ω τ τ ω + + = 又考虑到积分 ( )cos ( )d f x τ ω τ τ + ω 的偶函数,上式又可以写为 0 1 ( ) ( )cos ( )d d π f x f x τ ω τ τ ω + + = 这便是 ( ) f x 的傅里叶积分公式的三角形式了,稍加改变,还可以得到其他形式 . 7.1.2 傅里叶变换的概念 定义 7.1 如果函数 f ( t ) 满足傅里叶积分定理,由式 (7.4) ,设 ( ) F ω = j ( )e d f ωτ τ τ + (7.6) f ( t )= j 1 ( )e d 2 π t F ω ω ω + (7.7) 从上面两式可以看出, f ( t ) ( ) F ω 通过确定的积分运算可以互相转换. (7.6) 式称为 f ( t ) 的傅里叶变换式 ( 简称傅里叶变换 ) ,记为 ( ) F ω = [ f ( t )] ( ) F ω 称为 f ( t ) 的象函数,其积分运算称为取 f ( t ) 的傅里叶变换.式 (7.7) 称作 ( ) F ω 的傅 里叶逆变换式,记为 f ( t )= 1 [ ( ) F ω ] f ( t ) 称作 F ( ω ) 的象原函数,其积分运算称为取 f ( t ) 的傅里叶逆变换.通常称象函数 ( ) F ω 与象原函数 f ( t ) 构成一个傅里叶变换对. 【例 7.1 求函数 1, ( ) 0, x c f x x c < = > 的傅里叶变换 . 有傅里叶变换的定义 i i 0 ( ) ( )e d e d cos d i sin d 2 cos d 2sin , 0; 2 , 0 x c c c x c c c c F f x x x x x x x x x x c ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω + = = = = = = 【例 7.2 求指数衰减函数 f ( t )= 0 0 e 0 t t t β < 的傅里叶变换及傅里叶积分表达式, 0 β > .这 个指数衰减函数,是工程技术中常遇到的一个函数 .
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