Con respecto de 2 ˆ θ se define como la razón

con respecto de
2
ˆ
θ
se define como la
razón eficiencia =
)
ˆ
(
)
ˆ
(
1
2
θ
θ
V
V
.
Consistencia
Definición
El estimador
n
θ
ˆ
es un estimador consistente de θ si para
cualquier número positivo ε se tiene que 1 ) |
ˆ
(| lim = ≤ −
∞ →
ε θ θ
n
n
P o
en forma equivalente 0 ) |
ˆ
(| lim = ≥ −
∞ →
ε θ θ
n
n
P
Suele utilizar el siguiente resultado para probar la consistencia
de un estimador
Teorema
El estimador insesgado
n
θ
ˆ
para θ es un estimador consistente
de θ sí 0 )
ˆ
( lim =
∞ →
n
n
V θ
Suficiencia
En seguida se presentan algunos métodos para encontrar
estadísticos que en cierto sentido resumen toda la información
en una muestra con respecto a un parámetro objetivo, y tales
estadísticos tienen la propiedad de la suficiencia.
Definición
Sean
n
y y y ,..., ,
2 1
observaciones muestrales para las variables
aleatorias correspondientes
n
Y Y Y ,..., ,
2 1
. Entonces si
n
Y Y Y ,..., ,
2 1
son variables aleatorias discretas, la verosimilitud (factibilidad)
de la muestra, ) ,..., , (
2 1 n
y y y L L = se define como la probabilidad
conjunta de
n
y y y ,..., ,
2 1
. Si
n
Y Y Y ,..., ,
2 1
son variables aleatorias

11
Estadística Inferencial
continuas, la verosimilitud ) ,..., , (
2 1 n
y y y L se define como la
densidad conjunta evaluada en
n
y y y ,..., ,
2 1
.
El siguiente teorema relaciona la propiedad de suficiencia con la
verosimilitud.
Teorema
Sea U un estadístico basado en una muestra aleatoria
n
Y Y Y ,..., ,
2 1
. Entonces U es un estadístico suficiente para la
estimación de un parámetro θ si y sólo si la verosimilitud L se
puede factorizar en dos funciones no negativas
) ,..., , ( ) , ( ) ,..., , (
2 1 2 1 n n
y y y h u g y y y L θ = en donde ) , ( θ u g es una
función solamente de u y θ , y ) ,..., , (
2 1 n
y y y h no es una función
de θ .
En general se desea encontrar un estadístico suficiente que
reduzca los datos en la muestra hasta donde sea posible. Los
estadísticos que cumplen con ése objetivo se denominan
estadísticos de mínima suficiencia.
Suficiencia mínima y estimación insesgada de mínima
varianza
Tales estadísticos fueron desarrollados por Lehmann y Scheffé.
Suponga que
n
Y Y Y ,..., ,
2 1
representa una muestra aleatoria de
una función de probabilidad ) ( y p , o una función de densidad
f(y) con un parámetro desconocido θ . El conjunto de variables
n
Y Y Y ,..., ,
2 1
puede tomar varios valores, supongamos que
n
y y y ,..., ,
2 1
y
n
x x x ,..., ,
2 1
son dos conjuntos de valores posibles,
el método utiliza la razón de verosimilitudes evaluadas en esto
dos puntos
n
n
n
y y y L
x x x L
) ,..., , (
) ,..., , (
2 1
2 1 . Varias veces es posible encontrar
una función ) ,..., , (
2 1 n
x x x g tal que la razón mencionada no
presente el parámetro desconocido θ sí y sólo sí
) ,..., , ( ) ,..., , (
2 1 2 1 n n
y y y g x x x g = . Si se puede encontrar tal función
g, entonces ) ,..., , (
2 1 n
Y Y Y g es un estadístico de mínima
suficiencia para θ .

12
Estadística Inferencial
Método de los momentos
Ya que el método de anterior no siempre es aplicable, el
siguiente método es uno de los más antiguos, aunque el más
sofisticado el de máxima verosimilitud.