Réponse parenleftbig 2 3 1 6 parenrightbig π 3 2

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Réponse : parenleftBig 2 3 1 6 parenrightBig π 3 2 . Indications ou solutions pour l’exercice 8 1. I n + I n +2 nous donne quelque chose de la forme u × u n à primitiver. Réponse : I n + I n +2 = 1 n +1 , d’où I n 0 par encadrement. En progressant de 2 en 2 : I 2 n =( 1) n π 4 +( 1) n +1 n 1 summationdisplay k =0 ( 1) k 2 k +1 , I 2 n +1 =( 1) n ln2 2 +( 1) n n summationdisplay k =1 ( 1) k 2 k . 2. On passe à la limite : + summationdisplay k =0 ( 1) k 2 k +1 = π 4 et + summationdisplay k =0 ( 1) k k = ln(2) . À comparer aux développements en série de ln(1+ x ) et Arctan , obtenus par primitivation de sommes de suites géométriques de raison x et x 2 respectivement. Ici, on est au bord du domaine de convergence, donc ce ne sont pas des résultats anodins. Indications ou solutions pour l’exercice 9 – IPP pour former une relatino de récurrence : I n +1 = 2 n +2 2 n +3 I n . Réponse : I n = 2 3 · (2 n n !) 2 (2 n +1)! . Indications ou solutions pour l’exercice 10 – Former une relation entre I ( p, q ) et I ( p +1 , q 1) (par IPP), et itérer jusqu’à I ( p + q, 0) . Réponse : I ( p, q )= p ! q ! ( p + q +1)! . Indications ou solutions pour l’exercice 11 1. (a) Majorer l’intégrande par M n n ! , où M est un majorant de x mapsto→ x ( bx a ) . 5
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(b) Leibniz, ou plus simplement, écrire P ( X ) = a n X n + · · · + a 2 n X 2 n , et voir ce qu’il se passe lorsqu’on dérive k fois et qu’on évalue en 0 . Pour les évaluations en a b , on pourra faire le changement de variables y : x b a . 2. IPP itérée à l’ordre 2 n +1 , et question précédente. La contradiction provient des propriétés des suites convergentes d’entiers. Indications ou solutions pour l’exercice 12 – Faire 2 IPP : K n +2 = ( n +1)( n +2) K n +( n +2) π n +1 2 n +1 . Indications ou solutions pour l’exercice 13 – Pour lim n I n , majorer par x n tan1 . Réponse : 0 . Pour lim nI n =lim( n +1) I n , intégrer par parties, puis s’inspirer du premier calcul. Réponse : π 4 . Indications ou solutions pour l’exercice 14 La limite en 0 (et par périodicité aux 2 ) s’obtient par limites remarquables. I ne dépend pas de son dernier paramètre (intégraltion d’une fonction périodique). En déduire par cdv t = t + x x que I ne dépend pas non plus de sa deuxième variable. Intégrer par parties en primitivant 1 sin 2 ( t 2 ) (cela donne de la cotangente). On obtient l’égalité avec l’intégrale de l’énoncé, à un facteur 1 16 π près. I n +1 I n s’écrit comme l’intégrale d’une fonction impaire. Réponse : 1. Indications ou solutions pour l’exercice 15 – Prolonger par continuité en 0 et faire une IPP en + , de sorte à récupérer la convergence absolue, grâce à une comparaison avec 1 x 2 . Indications ou solutions pour l’exercice 16 – Intégration par parties, pour faire apparaître un 1 n , puis majorer l’intégrale, f étant bornée (pourquoi ?) Indications ou solutions pour l’exercice 17 – C’est ce qu’on a fait en cours de façon plus générale avec la formule de Taylor avec reste intégral. Le retrouver par IPP itérée (c’est ainsi qu’on avait montré la FTI), et majorer l’intégrale
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  • Fall '19
  • Mathématiques, Fonction trigonométrique, Continuité

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