Corre afastando se radialmente θ eφ mantidos

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corre afastando-se radialmente ( θ e φ mantidos constantes) de uma fonte ´ e governada pela equa¸c˜ ao diferencial: a 2 ( t ) ( dr/dt ) 2 1 - Kr 2 = d dt 2 = c 2 (27.30) Logo os f´otons sempre atravessam uma distˆancia pr´opria em um intervalo de tempo pr´oprio ( t - t 0 ) `a velocidade da luz c , = c ( t - t 0 ) . Ap´ os ser emitido por uma fonte isotr´opica, o f´oton atravessa uma esfera de ´ area 4 πr 2 ( t ) a 2 ( t ) em um tempo t , mas essa ´area n˜ao ´ e igual a 4 π 2 , pois depende do valor de k e de a ( t ). Por exemplo, para um Universo de Einstein-de Sitter, isto ´ e, plano, K=0 e a ( t ) = a 0 t t 0 2 / 3 Se o f´oton for emitido num tempo t e , o desvio para o vermelho z na recep¸c˜ ao ser´ a dado por: 1 + z a 0 a ( t ) = t 0 t e 2 / 3 A equa¸c˜ ao (27.30), para K = 0, se reduz a: dr dt = c a ( t ) de modo que r ( t 0 ) = 3 c a 0 t 0 " 1 - t e t 0 1 / 3 # onde 4 πa 2 ( t ) r 2 ( t 0 ) ´ e a ´area da esfera centrada na fonte e passando pelo tempo presente. Como r ( z ) = a 0 r ( t 0 ), r ( z ) = 2 c H 0 h 1 - (1 + z ) - 1 2 i 676
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j´a que para o Universo plano t 0 = (2 / 3) H - 1 0 . Tendo em vista que Universo plano ´ e euclidiano, r ( z ) ´ e a distˆancia no presente da fonte. A distˆancia que o f´oton atravessou desse que foi emitido ´ e dada por: ( z ) = c ( t e - t 0 ) = 2 c 3 H 0 h 1 - (1 + z ) - 1 2 i e, portanto, uma fonte com alto valor de z est´ a mais longe do que a distˆancia atravessada pela luz. Se a constante cosmol´ogica n˜ao for nula, o Universo se torna dominado por uma densidade de energia do v´acuo positiva, constante e n˜ao nula ρ Λ Λ / 8 πG . A evolu¸c˜ ao da m´ etrica neste caso logo se aproxima de a ( t ) = a 0 exp " r Λ 3 ( t - t 0 ) # Enquanto a luz viaja da fonte ao observador, seu comprimento de onda se expande por um fator proporcional ao aumento de a(t). Se atualmente Λ contribui com 70% da densidade de energia total em um universo plano (K=0), ent˜ ao o universo se tornar´a dominado por Λ em cerca de metade da idade atual. Podemos expressar a idade em fun¸c˜ ao do deslocamento para o vermelho z = a 0 /a ( t ), da raz˜ao da densidade de mat´ eria para a densidade cr´ ıtica, Ω M , e da raz˜ao da densidade de energia do v´acuo para a densidade cr´ ıtica, Ω Λ , como t ( z ) = H - 1 0 Z (1+ z ) - 1 0 dx p 1 - M + Ω M x - 1 + Ω Λ ( x 2 - 1) Se o universo for plano, Ω M + Ω Λ = 1 e a integral resulta em t ( z ) = 2 3 H 0 Λ ln " r Λ 1 - Λ (1 + z ) - 3 + r Λ 1 - Λ (1 + z ) - 3 + 1 # No limite Ω Λ 0, recuperamos a rela¸c˜ ao entre a idade e o deslocamento para o vermelho de um universo plano normal: t ( z ) = 2 3 H 0 (1 + z ) 3 / 2 Definindo a press˜ao de cada componente como P i = w i ρ i , μ T μ,ν = 0 implica que a densidade ser´a expressa como ρ i a - n i = a - 3(1+ w i ) 677
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e o parametro de desacelera¸c˜ ao q = - ¨ aa ˙ a 2 = X i n i - 2 2 i e q = 1 2 M - Λ para um universo dominado por mat´ eria e constante cosmol´ogica, j´a que w M = 0, w rad = 1 / 3 e w Λ = - 1. A radia¸c˜ ao do fundo do Universo ´ e normalmente decomposta em esf´ ericos harmˆ onicos T T = X ,m a ,m Y ,m ( θ, φ ) e o momentum de multipolo ´ e dado por C = < | a 2 ,m | > relacionado `a separa¸c˜ ao angular θ = 180 o O valor de do primeiro “pico Doppler”, um aumento na potˆ encia devido a oscila¸c˜ oes ac´usticas, ´ e diretamente proporcional ao valor de H - 1 recombina¸ ao , pois ´ e a escala angular subentendida pelo raio de Hubble quando os f´otons da radia¸c˜
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