P r p δpp r 23495 impl ıcito na derivac ao desta

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∂P 0 ∂r 0 - P 0 ∂ δP/P 0 ∂r 0 (23.495) Impl´ ıcito na deriva¸c˜ ao desta equa¸c˜ ao est˜ao as condi¸c˜ oes ¨ r 0 = 0 e ˙ r 0 = 0, j´a que o estado de equil´ ıbrio ´ e completamente est´atico. Neste ponto da an´alise tomamos o caminho tradicional em teoria de perturba¸c˜ ao e assumimos que todos as perturba¸c˜ oes prefixadas por δ pode ser decompostas nas componentes de Fourier com o elemento de tempo re- presentado por exponenciais. Desta maneira, introduzimos a componente espacial do deslocamento relativo do fluido, ζ ( r 0 ), como δr r 0 ( t, r 0 ) = ζ ( r 0 ) e iσt (23.496) onde a exponencial representa a descri¸c˜ ao da evolu¸c˜ ao temporal do desloca- mento e ζ ( r 0 ), que depende somente de r 0 (isto ´ e, do elemento de massa), pode ser considerado como a forma do deslocamente no instante zero de 531
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tempo. Note que σ e ζ ( r 0 ) podem ser complexos. O lado esquerdo da equa¸c˜ ao de for¸ca se torna - ρ 0 r 0 σ 2 ζ ( r 0 ) e iσt . Esclarecemos que n˜ao estamos assumindo que as vari´ aveis f´ ısicas s˜ao complexas; como e iσt = cos( iσt ) + i sen ( iσt ) e σ pode ser complexa, as vari´ aveis f´ ısicas s˜ao a parte real do produto, por exemplo δr r 0 ( t, r 0 ) = { ζ ( r 0 ) e iσt } Deve agora ficar claro que temos duas equa¸c˜ oes linearizadas, de for¸ca e de massa, mas trˆ es vari´ aveis: ζ ( r 0 ) e as partes espaciais das perturba¸c˜ oes de press˜ao e de densidade. Isto ocorre porque desprezamos a energ´ etica do problema real e deste modo nossa descri¸c˜ ao ´ e incompleta. Para tornar o problema em puramente mecˆanico, relacionamos δρ e δP na aproxima¸c˜ ao adiab´ atica, relembrando a rela¸c˜ ao Lagrangeana entre mudan¸ cas em press˜ao e mudan¸cas em densidade Γ 1 = ln P ln ρ ad (23.497) Como isto ´ e uma abrevia¸c˜ ao para P ρ Γ 1 e δ ´ e o operador Lagrangiano diferencial, tomamos o logar´ ıtmo δ -derivadas para encontrar δP P 0 = Γ 1 δρ ρ 0 (23.498) Esta rela¸c˜ ao toma o lugar de qualquer equa¸c˜ ao de transporte de energia e calor que normalmente apareceriam e, agora, temos tantas vari´ aveis quanto equa¸c˜ oes. Dentre os v´arios caminhos que podemos tomar, escolhemos o seguinte: (1) substitu´ ımos todas as perturba¸c˜ oes pelas suas componentes espaciais de Fourier, com os valores comuns de e iσt cancelados; (2) substitu´ ımos todas ocorrˆ encias de δρ por δP usando a condi¸c˜ ao adiab´atica; (3) rearrangamos as duas equa¸c˜ oes linearizadas de modo que as derivadas espaciais aparecem no lado esquerdo; (4) substitu´ ımos as derivadas parciais por derivadas espaciais totais, mas lembrando que dependem somente de r 0 ; (5) retiramos todas referˆ encias aos subscritos zero j´a que todos os termos s˜ao perturba¸c˜ oes e quantidades da configura¸c˜ ao est´atica. O resultado ´ e dr = - 1 r 3 ζ + 1 Γ 1 δP P (23.499) 532
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d ( δP/P ) dr = - d ln P dr 4 ζ + σ 2 r 3 GM r ζ + δP P (23.500) onde o fator r 3 /GM r aparece como resultado de usarmos a equa¸c˜ ao do equil´ ıbrio hidrost´atico para eliminar os termos contendo dP/dr .
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