N OTACI ON 382 Sea f una funcion integrable en a b y sea F una antiderivada de

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N OTACI ´ ON 3.8.2 Sea f una funci´on integrable en [ a, b ] y sea F una antiderivada de f en [ a, b ] . Es usual escribir Z b a f ( x ) dx = F ( x ) b a = F ( b ) - F ( a ) . E JEMPLO 3.8.5 Z π 0 sen x dx = - cos x π 0 = - cos π - ( - cos 0) = 1 + 1 = 2 . E JEMPLO 3.8.6 Z 3 - 1 (2 x 2 + 6 x ) dx = 2 3 x 3 + 3 x 2 3 - 1 = 2 3 · 3 3 + 3 · 3 2 - 2 3 · ( - 1) 3 + 3 · ( - 1) 2 = (18 + 27) - - 2 3 + 3 = 42 + 2 3 = 126 3 + 2 3 = 128 3 . E JERCICIOS DE REPASO 3.8.1 1. Eval´ua cada una de las siguientes integrales definidas a ) Z 2 1 x dx b ) Z 1 0 dx 1 + x 2 c ) Z 1 - 1 x 2 e x dx d ) Z π 0 e 3 x cos(2 x ) dx 63
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C AP ´ ITULO 3. L A INTEGRAL DE R IEMANN EN R Salom´on Alarc´on Araneda 2. Sea f : [0 , 1] R una funci´on continua en [0 , 1] y derivable en ]0 , 1[ tal que f (0) = 0 y 0 f 0 ( x ) 1 x ]0 , 1[ . Prueba que h Z 1 0 f ( t ) dt i 2 Z 1 0 f ( t ) 3 dt. Para ver las Soluciones de algunos de los Ejercicios de Repaso 3.8.1 presiona aqu´ ı 4.8 R ECURSOS MULTIMEDIA (ES NECESARIA UNA CONEXI ´ ON A INTERNET) 3.8.1 Para ver un video donde se calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones integrales presiona aqu´ ı X a) g ( x )= Z x 1 ( t 2 - 1) 20 dt b) h ( x )= Z 2 x ( cos( t 2 ) + t ) dt c) g ( x )= Z x 1 s 2 s 2 + 1 ds d) g ( x )= Z x 2 tan x 1 1 + t 4 dt. 64
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Cap´ ıtulo 4 Aplicaciones de la integral de Riemann 4.1. ´ Area de una regi´on en el plano 4.1.1. ´ Area bajo una curva D EFINICI ´ ON 4.1.1 Sea f : [ a, b ] R una funci´on continua, con f 0 en [ a, b ] , y sea R la regi´on acotada limitada por la curva y = f ( x ) , y las rectas y = 0 , x = a y x = b . Llamamos ´area bajo la curva y = f ( x ) en [ a, b ] al ´area de la regi´on R , la cu´al est´a dada por la cantidad A ( R ) = Z b a f ( x ) dx. Figura 4.1 . ´ Area bajo la curva E JEMPLO 4.1.1 Encuentra el ´area de la regi´on acotada limitada por la curva y = x 3 , el eje x y las rectas x = 0 y x = 2 . Soluci´on. Notemos que la funci´on f ( x ) = x 3 es no negativa en [0 , 2] . Luego, si llamamos R a la regi´on acotada limitada por la curva y = x 3 , el eje x y las rectas x = 0 y x = 2 (vea la Figura 4.2 a continuaci´on), entonces A ( R ) = Z 2 0 f ( x ) dx = Z 2 0 x 3 dx = 1 4 (2 4 - 0 4 ) = 16 4 = 4 . 65
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C AP ´ ITULO 4. A PLICACIONES DE LA INTEGRAL DE R IEMANN Salom´on Alarc´on Araneda Figura 4.2 . La regi´on acotada limitada por la curva y = x 3 , el eje x y las rectas x = 0 y x = 2 . 4.1.2. ´ Area entre curvas T EOREMA 4.1.1 Sean f , g : [ a, b ] R funciones continuas tales que f ( x ) g ( x ) x [ a, b ] . Entonces el ´area de la regi´on R del plano entre las curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) en el intervalo [ a, b ] est´a dada por A ( R ) = Z b a h f ( x ) - g ( x ) i dx. Figura 4.3 . ´ Area entre curvas E JEMPLO 4.1.2 Calcula el ´area de la regi´on acotada limitada por las curvas y - x 3 = 0 , y - x = 6 y 2 y + x = 0 . Soluci´on. En primer lugar vamos a despejar la variable y para cada ecuaci´on. y - x 3 = 0 y = x 3 y - x = 6 y = x + 6 2 y + x = 0 y = - x 2 . 66
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Salom´on Alarc´on Araneda 4.1. ´ A REA DE UNA REGI ´ ON EN EL PLANO Un gr´afico aproximado de las curvas nos permitir´a decidir qu´e hacer. Antes, es necesario encon- trar los puntos de intersecci´on entre las curvas para determinar los intervalos en que una curva est´a ubicada sobre la otra. Estos puntos de intersecci´on determinan los l´ ımites de integraci´on apro- piados. Vamos a intersectar las curvas de a dos:
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  • Summer '17
  • juan alberto
  • Curva, Derivada, Integración indefinida, ´ Araneda

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