N otaci on 382 sea f una funcion integrable en a b y

N
OTACI
´
ON
3.8.2 Sea f una funci´on integrable en [ a, b ] y sea F una antiderivada de f en [ a, b ] . Es
usual escribir
Z
b
a
f ( x ) dx = F ( x )
b
a
= F ( b ) - F ( a ) .
E
JEMPLO
3.8.5
Z
π
0
sen x dx = - cos x
π
0
= - cos π - ( - cos 0) = 1 + 1 = 2 .
E
JEMPLO
3.8.6
Z
3
- 1
(2 x
2
+ 6 x ) dx =
2
3
x
3
+ 3 x
2
3
- 1
=
2
3
· 3
3
+ 3 · 3
2
-
2
3
· ( - 1)
3
+ 3 · ( - 1)
2
= (18 + 27) - -
2
3
+ 3
= 42 +
2
3
=
126
3
+
2
3
=
128
3
.
E
JERCICIOS DE REPASO
3.8.1
1. Eval´ua cada una de las siguientes integrales definidas
a )
Z
2
1
√
x dx
b )
Z
1
0
dx
1 + x 2
c )
Z
1
- 1
x
2
e
x
dx
d )
Z
π
0
e
3 x
cos(2 x ) dx
63

C
AP
´
ITULO
3. L
A INTEGRAL DE
R
IEMANN EN
R
Salom´on Alarc´on Araneda
2. Sea f : [0 , 1] → R una funci´on continua en [0 , 1] y derivable en ]0 , 1[ tal que f (0) = 0 y
0 ≤ f
0
( x ) ≤ 1 ∀ x ∈ ]0 , 1[ . Prueba que
h
Z
1
0
f ( t ) dt
i
2
≥
Z
1
0
f ( t )
3
dt.
Para ver las Soluciones de algunos de los Ejercicios de Repaso 3.8.1 presiona aqu´ ı 4.8
R
ECURSOS MULTIMEDIA (ES NECESARIA UNA CONEXI
´
ON A INTERNET)
3.8.1
Para ver un video donde se calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones integrales
presiona aqu´ ı X
a) g ( x )=
Z
x
1
( t
2
- 1)
20
dt b) h ( x )=
Z
2
x
(
cos( t
2
) + t
)
dt
c) g ( x )=
Z
√
x
1
s
2
s
2
+ 1
ds d) g ( x )=
Z
x
2
tan x
1
1 + t
4
dt.
64

Cap´ ıtulo 4
Aplicaciones de la integral de Riemann
4.1.
´
Area de una regi´on en el plano
4.1.1.
´
Area bajo una curva
D
EFINICI
´
ON
4.1.1 Sea f : [ a, b ] → R una funci´on continua, con f ≥ 0 en [ a, b ] , y sea R la regi´on
acotada limitada por la curva y = f ( x ) , y las rectas y = 0 , x = a y x = b . Llamamos ´area bajo la
curva y = f ( x ) en [ a, b ] al ´area de la regi´on R , la cu´al est´a dada por la cantidad
A ( R ) =
Z
b
a
f ( x ) dx.
Figura 4.1 .
´
Area bajo la curva
E
JEMPLO
4.1.1 Encuentra el ´area de la regi´on acotada limitada por la curva y = x
3
, el eje x y las
rectas x = 0 y x = 2 .
Soluci´on. Notemos que la funci´on f ( x ) = x
3
es no negativa en [0 , 2] . Luego, si llamamos R a la
regi´on acotada limitada por la curva y = x
3
, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2 (vea la Figura 4.2 a
continuaci´on), entonces
A ( R ) =
Z
2
0
f ( x ) dx =
Z
2
0
x
3
dx =
1
4
(2
4
- 0
4
) =
16
4
= 4 .
65

C
AP
´
ITULO
4. A
PLICACIONES DE LA INTEGRAL DE
R
IEMANN Salom´on Alarc´on Araneda
Figura 4.2 . La regi´on acotada limitada por la curva y = x
3
, el eje x y las rectas x = 0 y x = 2 .
4.1.2.
´
Area entre curvas
T
EOREMA
4.1.1 Sean f , g : [ a, b ] → R funciones continuas tales que f ( x ) ≥ g ( x ) ∀ x ∈ [ a, b ] .
Entonces el ´area de la regi´on R del plano entre las curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) en el intervalo [ a, b ]
est´a dada por
A ( R ) =
Z
b
a
h
f ( x ) - g ( x )
i
dx.
Figura 4.3 .
´
Area entre curvas
E
JEMPLO
4.1.2 Calcula el ´area de la regi´on acotada limitada por las curvas y - x
3
= 0 , y - x = 6 y
2 y + x = 0 .
Soluci´on. En primer lugar vamos a despejar la variable y para cada ecuaci´on.
y - x
3
= 0 ⇒ y = x
3
y - x = 6 ⇒ y = x + 6
2 y + x = 0 ⇒ y = -
x
2
.
66

Salom´on Alarc´on Araneda
4.1.
´
A
REA DE UNA REGI
´
ON EN EL PLANO
Un gr´afico aproximado de las curvas nos permitir´a decidir qu´e hacer. Antes, es necesario encon-
trar los puntos de intersecci´on entre las curvas para determinar los intervalos en que una curva
est´a ubicada sobre la otra. Estos puntos de intersecci´on determinan los l´ ımites de integraci´on apro-
piados. Vamos a intersectar las curvas de a dos: