定理 2 设 n N x 是�足插值条� n i i i N x f x y 01 i n 的插值多项式 1 1 2 1 n f x f x x f x x

定理 2 设 n n x 是?足插值条? n i i i n x f x

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定理 2 ( ) n N x 是满足插值条件 ( ) ( ) n i i i N x f x y ( 0,1, , ) i n 的插值多项式 , 0 0 1 0 1 2 0 0 1 ( ) ( ) [ ] [ , ] [ , ( ] ( ) , ) n f x f x x f x x x N x x x x x x x 牛顿插值多项式 而且余项 0 1 0 ( ) ( ) [ , , , ( ) ( ] ) , n n n n i i f x x R x f x N x x x x x 0 1 1 0 1 [ , , , ] ( )( ) ( ) n n f x x x x x x x x x
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证 明 x 看成 [ , ] a b 上一点 , 可得 0 0 0 ( ) [ ] [ ] [ , ]( ), f x f x f x f x x x x 0 0 1 0 1 1 [ , ] [ , ] [ , , ]( ), f x x f x x f x x x x x 0 1 0 1 2 0 1 2 2 [ , , ] [ , , ] [ , , , ]( ), f x x x f x x x f x x x x x x …………… [ , , , ] [ , , , ] [ , , , , ]( ), f x x x f x x x f x x x x x x 牛顿插值多项式 0 1 0 1 0 1 n n n n 依次将后一式代入前一式 , 0 0 1 0 1 2 0 0 1 ( ) ( ) [ ] [ , ] [ , , ] ( )( ) f x f x x f x x f x x x x x x x x 0 1 1 0 1 [ , , , ] ( )( ) ( ) n n f x x x x x x x x x 0 1 1 ( [ , , , ( ) ) , ] ( ) n n n n f x x x x x R N x x 0 1 0 ( ) ( ) [ , , , ( ) ( ] ) , n n n n i i f x x R x f x N x x x x x
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由误差式有 ( ) ( ) ( 0,1, , ) n i i N x f x i n 牛顿插值多项式 因此定义的 ( ) n N x 是满足插值条件 ( ) ( ) ( 0,1, , ) n i i i N x f x y i n 的插值多项式 . 证毕.
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例:已知函数值表 牛顿插值多项式
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已知 n +1 不同个点 x 0 , …, x n 牛顿插值多项式 例 差商计算 求差商
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i x [ ] i f x 0 x 0 [ ] f x 一阶 差商 二阶 差商 三阶 差商 n 差商 计算 差商 可按下表逐行进行 牛顿插值多项式 1 x 2 x 3 x n x 1 [ ] f x 2 [ ] f x 3 [ ] f x [ ] n f x 0 1 [ , ] f x x 1 2 [ , ] f x x 2 3 [ , ] f x x 1 [ , ] n n f x x 0 1 2 [ , , ] f x x x 1 2 3 [ , , ] f x x x 2 1 [ , , ] n n n f x x x 0 3 [ , , ] f x x 3 [ , , ] n n f x x 0 1 [ , , , ] n f x x x …… …… …… ……
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例 差商计算 通过迭代计算差商 牛顿插值多项式
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1 已知 ( ) f x shx 的离散数据如下表: i x ( ) i f x 0.00 0.20 0.30 0.50 0.00000 0.20134 0.30452 0.52110 牛顿插值多项式 Newton
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