Ecriture matricielle les 6 equations pr ec edentes

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´ ecriture matricielle Les 6 ´ equations pr´ ec´ edentes peuvent ˆ etre ´ ecrites sous forme matricielles. N T y T z M x M fy M fz = ES 0 0 0 0 0 0 GS 0 0 0 0 0 0 GS 0 0 0 0 0 0 GI 0 0 0 0 0 0 0 EI Hy 0 0 0 0 0 0 EI Hz x γ y γ z α x α y α z , (2.32) incompatibilit´ e Cette cin´ ematique implique que les contraintes σ yx et σ zx sont constantes dans l’´ epaisseur de la poutre, donc sur les surfaces ext´ erieures lat´ erales. Du fait de la sym´ etrie du tenseur des contraintes, cela implique sur la surface de normale ~ y que la contrainte σ yx soit non nulle. Or elle doit ˆ etre ´ egale `a la contrainte exerc´ ee par l’ext´ erieur sur cette surface. Si cette surface est libre, cette contrainte ext´ erieure est nulle. Il y a donc contradiction entre la r´ ealit´ e et le mod` ele. Il nous faut chercher une cin´ ematique telles que la r´ epartition des contraintes σ yx et σ zx soient des fontions de ˜ y et ˜ z et nulles sur les bords de la section droite. C’est l’objet de la troisi` eme cin´ ematique qui implique un voilement de la section en pr´ esence d’un effort tranchant. 37 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.26 – Calcul du tenseur des contraintes pour la cin´ ematique 2 et des conditions de surfaces libres de contrainte. Figure 2.27 – Relation entre les d´ eformations pour la cin´ ematique 2 et les champs de d´ eplacement compl´ ementaires. 38 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.28 – Expression des composantes du torseur des efforts int´ erieurs pour la cin´ ematique 2. 39 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.29 – R´ epartition des contraintes de cisaillement dues `a une sollicitation de torsion, en fonction de la forme de la section droite et de la cin´ ematique choisie. Assimilation Pour v´ erifier que vous avez assimil´ e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir le brevet 042. Si vous avez des difficult´ es, je vous invite `a contacter le r´ ef´ erent du brevet correspondant, dont le m´ el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95. 2.4.4 3i` eme cin´ ematique Le plan normal se d´ eforme dans le plan tel que σ yy et σ zz restent nuls, et tel que les contraintes σ yx et σ zx soient nulles sur les bords de la section droite. Cette cin´ ematique (Fig. 2.19) sera ´ etudi´ ee plus avant dans le cours de mod´ elisation [ ? ]. Nous y obtiendrons des facteurs correctifs du moment polaire et des sections ´ equivalentes sous effort tranchant. Ces facteurs correctifs sont d´ etaill´ es dans les tableaux des figures 2.30 et 2.31. Il en est de mˆ eme pour la sollicitation de torsion pour laquelle la proportionalit´ e de la contrainte de cisaillement avec la distance au point H n’est v´ erifi´ ee que dans le cas d’une poutre de section droite circulaire (Fig. 2.29).
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