Bài toán 2 Dãy s ố a n đ c xác đ nh b i ượ ị ở a 1 a 2 0 và a n 1 a n a n 1 Ch

Bài toán 2 dãy s ố a n đ c xác đ nh b i ượ

This preview shows page 101 - 104 out of 115 pages.

Bài toán 2. Dãy s ( a n ) đ c xác đ nh b i ượ a 1 > 0 , a 2 > 0 và a n + 1 = a n + a n 1 . Ch ng minh r ng dãy s ( a n ) h i t và tìm gi i h n c a dãy s đó. L i gi i Xét dãy s ( M n ) v i M n = m ax { a n , a n + 1 , 4 } N u ế M n = 4 thì a n , a n + 1 4, suy ra a n + 2 4, t đó M n + 1 = 4 . N u ế M n = a n + 1 thì a n + 1 a n , an + 1 4 . Khi đó: a n 1 = a n + 1 a n a n + 1 , suy ra: a n + 2 = a n + a n + 1 a n + a n 1 = a n + 1 . Do đó M n + 1 = a n + 1 . N u ế M n = a n thì a n a n + 1 , a n 4 . Khi đó a n + 2 = a n + a n + 1 M n + 1 a n = M n . 2 a n . Suy ra V y trong m i tr ng h p ườ M n + 1 Mn , t c là dãy ( M n ) là dãy s gi m. Do ( M n ) b ch n d i b i 4 nên dãy này có gi i h n. Ta ch ng minh gi i h n này ướ b ng 4. Th t v y, gi s gi i h n là M > 4. Khi đó v i m i > 0, t n t i N sao cho v i m i n N thì M < Mn < M + . Ch n n ∈ N sao cho M n + 2 = a n + 2 (theo các l p lu n trên và do M > 4 thì t n t i ch s n nh ư v y. Ta có: M < M n + 2 = a n + 2 = a n + a n 1 < 2 M + hay M ( M 4 ) − ( 2 M + 4 ) < 0. Mâu thu n vì M > 4 và có th ch n nh tuỳ ý. Bài toán 3.(VMO-1992 [4]) Cho các s d ng a, b, c và 3 dãy s ươ { a k } , { b k } , { c k } + 2 4 2
Image of page 101

Subscribe to view the full document.

đ c xác đ nh nh sau: ượ ư 1) a 0 = a , b 0 = b , c 0 = c . 2) a k 2 + 1 = a k + b k + c k ; b k 2 + 1 = b k + c k + a k c k + 2 1 = c k + a k + b k ; k ƒ= 0. Ch ng minh r ng a k d n t i vô h n khi k d n t i vô h n. L i gi i
Image of page 102
V i m i k 0, đ t: M k = max { a k , b k , c k } m k = min { a k , b k , c k } T gi thi t ế bài toán, suy ra { M k } { m k } là dãy các s d ng. ươ Ta s ch ng minh r ng: lim m k = (5) và t đây s suy ra k lim a k = k Đ ch ng minh (5), ta s ch ng minh r ng: lim M k = và lim Mk = p R k k m k a) Xét { M k } .T gi thi t ế (2), ta có : . Σ k + 1 c 2 + 6 k + 1 k + 1 k k k b k + c k c k + a k a k + b k k k Suy ra k 1, ta có : a 2 + b 2 + c 2 > 6 k M 2 > 2 k M k > 2 k lim M k = (6) k k k k k b) Xét dãy M k m k T gi thi t (6), d th y ế k 0 m k + 1 m k + 1 M k + 1 M k + 1 Suy ra: M k 1 + m k . M k + 1 Σ m k = M k m k + 1 = M k . m k + 1 Σ M k m k + 1 M k + 1 M k m k + 1 m k Do M k m k 1 , ∀ k 0 nên dãy . M k Σ là dãy không tăng và b ch n d i b i -1. Vì ướ v y, t n t i lim M = p , p ∈ R (7) n m k T (6) và (7) suy ra đi u ph i ch ng minh. 2.5.7. Gi i h n c a dãy sinh b i ph ng ươ trình Nh n xét: Trong toán h c, có r t nhi u tr ng h p ta không xác đ nh đ c ườ ượ giá tr c th đ i t ng mà chúng ta đang xét (ví d s , hàm s ) nh ng v n có ượ ư a 2 + + > a 2 + b 2 + c 2 a + b + 2
Image of page 103

Subscribe to view the full document.

Image of page 104
  • Fall '19

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Ask Expert Tutors You can ask 0 bonus questions You can ask 0 questions (0 expire soon) You can ask 0 questions (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes