1 montrer que pour tout n n léquation f n x x k 1 x

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1. Montrer que pour tout n N , l’équation f n ( x )= x k +1 + x k n =0 admet une unique solution x n dans R + 2. Étudier les variations de x n . 3. Étudier la limite éventuelle de ( x n ) . 4. Trouver un équivalent simple de x n . Exercice 32 (Équivalent de sommes partielles et restes de séries) 1. Déterminer un équivalent de n k =1 1 k α lorsque n tend vers + , dans le cas où α lessorequalslant 1 . 2. Même question pour + k = n +1 1 k α lorsque α > 1 . 3. Même question pour n k =1 ln k k . Exercice 33 – Déterminer les valeurs d’adhérence de ( u n ) n N * , où : n N , u n = parenleftbigg 1+ ( 1) n n parenrightbigg n . Exercice 34 – Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de ( u n ) est fermé. Exercice 35 – Soit ( u n ) n N une suite d’éléments de R + telle que lim u n = 0 . Montrer qu’on peut trouver une bijection σ : N N telle que ( u ϕ ( n ) ) n N soit décroissante de limite nulle. Exercice 36 (Compacité au sens de Borel et Lebesgue) Soit ( E, d ) un espace métrique et K E . On dit que K est BW-compact s’il vérifie la propriété de Bolzano-Weierstrass (i.e. de toute suite de K on peut extraire une suite convergente dans K ) ; K est BL-compact si pour toute famille ( U i ) i I d’ouverts de E tels que K uniondisplay i I U i , il existe J I fini tel que K uniondisplay i J U i (propriété de Borel-Lebesgue). On dit que de tout recouvrement par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini. 1. Montrer que l’image par une fonction continue d’un BL-compact est un BL-compact. 2. Montrer que BL-compact = BW-compact. 3. Montrer que si K est BW-compact, K est précompact (c’est-à-dire que pour tout ε > 0 , on peut recouvrir K par un nombre fini de boules ouvertes de rayon ε ) 4. Supposons K BW-compact, et soit ( U i ) i I une famille d’ouverts recouvrant K . Montrer qu’il existe r tel que pour tout x K , B ( x, r ) soit inclus dans l’un des U i ( r est appelé nombre de Lebesgue du recouvrement). 5. En déduire que BW-compact = BL-compact. Exercice 37 – Soit f définie sur un intervalle [ a, b ] , telle que pour tout x 0 [ a, b ] , lim x x 0 x negationslash = x 0 f ( x ) existe. On pourra utiliser la propriété de Borel-Lebesgue, déjà démontrée en exercice. 5
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1. Montrer que pour tout ε > 0 , l’ensemble D ε = braceleftBigg x 0 [ a, b ] | vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle lim x x 0 x negationslash = x 0 f ( x ) f ( x 0 ) vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle greaterorequalslant ε bracerightBigg est fini. 2. En déduire que l’ensemble D = braceleftBigg x 0 [ a, b ] | vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle lim x x 0 x negationslash = x 0 f ( x ) f ( x 0 ) vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle negationslash =0 bracerightBigg est au plus dénombrable.
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  • Fall '19
  • nombre réel, entier naturel, Mathématiques, Continuité, Compacité, A. Troesch

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