3 que dire si ℓ 1 exercice 12 soit u n telle que

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3. Que dire si =1 ? Exercice 12 – Soit ( u n ) telle que pour tout ( k, n ) ( N ) 2 , 0 lessorequalslant u n lessorequalslant k n + 1 k . Montrer que u n 0 . Exercice 13 (Théorème de la moyenne de Cesàro, à considérer comme du cours) Soit ( u n ) n N * une suite réelle et soit n N , v n = 1 n ( u 1 + · · · + u n )= 1 n n summationdisplay k =1 u k 1. Montrer que si ( u n ) n N * tend vers (fini ou infini), alors ( v n ) n N * tend aussi vers (théorème de Cesàro). La suite de l’exercice propose une application du théorème de Cesàro. 2. Montrer que si ( u n +1 u n ) n N * tend vers (fini ou infini), alors parenleftBig u n n parenrightBig n N * tend vers . 3. On suppose que ( u n ) n N * est à termes dans R + . Montrer que si parenleftBig u n +1 u n parenrightBig n N * converge vers , alors parenleftBig u 1 /n n parenrightBig n N * converge aussi vers . 4. Déterminer la limite de ( u n ) n N * définie par u n = parenleftbigg 2 n n parenrightbigg 1 /n . Exercice 14 – En considérant sin( n +1) , montrer que la suite (sin( n )) n N n’admet pas de limite en + . Exercice 15 – Soit f une fonction réelle continue et positive sur l’intervalle [ a, b ] . On admet l’existence d’un maximum M de f sur [ a, b ] (résultat classique d’analyse). Montrer que : lim n + parenleftBigg integraldisplay b a ( f ( x )) n dx parenrightBigg 1 n = M Exercice 16 – Soit ( u n ) telle que pour tout n N , u n +2 lessorequalslant u n + u n +1 2 . Montrer que ( u n ) converge. Exercice 17 – Soit ( u n ) n N une suite réelle bornée telle que pour tout n N , 2 u n lessorequalslant u n +1 + u n 1 . 1. Montrer que la suite ( u n +1 u n ) n N converge vers 0 . 2. La suite ( u n ) n N est-elle convergente ? 2
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Exercice 18 – Soit ( u n ) n N une suite à valeurs dans [0 , 1] telle que pour tout n N , (1 u n ) u n +1 > 1 4 . Montrer que ( u n ) n N est convergente, puis que lim n + u n = 1 2 . Exercice 19 – Soit ( a n ) n N une suite de réels positifs. À cette suite a =( a n ) n N , on associe une suite u ( a )=( u n ( a )) n N définie par : n N , u n ( a )= radicalBigg a 0 + radicalbigg a 1 + radicalBig a 2 + · · · + a n . 1. Montrer que u ( a ) est une suite croissante. 2. Si a est la suite constante égale à 1, montrer que u ( a ) converge, et calculer sa limite. 3. Si la suite a est donnée par a n = λ 2 n +1 , pour un λ > 0 donné, montrer que u ( a ) converge, et calculer sa limite. 4. Soient ( a n ) n N et ( a n ) n N deux suites à termes positifs. Si pour tout n N , a n lessorequalslant a n , montrer que on a aussi pour tout n N , u n ( a ) lessorequalslant u n ( a ) . Est -ce que u ( a ) converge lorsque a n = n ? a n = n ! ? a n = n n ? 5. Montrer que pour tout n N , on a u n ( a ) greaterorequalslant a 1 2 n +1 n . Trouver un exemple de suite ( a n ) n N telle que u ( a ) ne converge pas.
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  • Fall '19
  • nombre réel, entier naturel, Mathématiques, Continuité, Compacité, A. Troesch

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