Luego esas curvas de nivel deben ser rectas paralelas

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Luego esas curvas de nivel deben ser rectas paralelas a 3 i + 2j . Es decir, las curvas de nivel de f son las rectas 2x - 3y = c. Por lo tanto f(x, y) es constante cuando 2x - 3y es constante. Esto sugiere que (9.5) f(x,y) = g(2x - 3y) para alguna función g. Comprobemos ahora que, para cada función diferenciable g, el campo esca- lar f definido por (9.5) satisface realmente (9.4). Utilizando la regla de la cadena para calcular las derivadas parciales de f encontramos 01, 01, ox = 2g(2x - 3y), oy = -3g(2x - 3y), 01 01, , 3- + 2- = 6g(2x - 3y) - 6g(2x - 3y) = O. ox oy Por consiguiente, f satisface (9.4). Recíprocamente, podemos demostrar que toda función f diferenciable que satisfaga (9.4) necesariamente debe ser de la forma (9.5) para una cierta g. Para ello, introduzcamos un cambio lineal de variables, (9.6) x = Au + Bv, y = Cu + Dv. Este transforma f(x, y) en una función de u y v, sea ésta h(u, v) = f(Au + Bv, Cu + Dv). Elegiremos las constantes A, B, C, D de modo que h satisfaga la ecuación más sencilla (9.7) oh(u, v) = o. ou La resolveremos y demostraremos que f tiene la forma deseada. Con la regla de la cadena encontramos oh 01 ox 01 oy 01 01 -=--+--=-A+-C. OU OX OU oy OU OX oy
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348 Aplicaciones de cálculo diferencial Puesto que f satisface (9.4) tenemos 8f18y = - (3 /2)(8f /8x), por lo que la ecua- ción toma la forma ah = o/ (A _ ~ c) . ou ax 2 Por consiguiente, h satisfará (9.7) si elegimos A = ~c. Tomando A = 3 Y e = 2 encontramos (9.8) x = 3u + Bv, y = 2u + DI'. Con esta elección de A y e, la función h satisface (9.7), así que h(u, v) es una función sólo de v, h(u, v) = g(v) para una cierta función g. Para expresar v en función de x e y eliminamos u en (9.8) y obtenemos 2x - 3y = (2B - 3D)v. Elijamos ahora B y D de manera que 2B - 3D = 1, por ejemplo B = 2, D = 1. Para estos valores la transformación (9.6) es no singular; tenemos v = 2x - 3y, Y por tanto /(x, y) = h(u, v) = g(v) = g(2x - 3y). Esto demuestra que toda función diferenciable f solución de (9.4) tiene la for- ma (9.5). El mismo tipo de razonamiento demuestra el siguiente teorema para las ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes. TEOREMA 9.1. Si g es una función diferenciable en R' y f es el campo escalar definido en R 2 por medio de la ecuación (9.9) /(x,y) = g(bx - ay), en la que a y b son constantes, no simultáneamente nulas, entonces f satisface la ecuación en derivadas parciales de primer orden (9.10) a o/ex, y) + b o/ex, y) = O ox 0Y en todo R 2 Recíprocamente, toda solución diierenciable de (9.10) tiene necesaria- mente la forma (9.9) para una cierta g.
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Ejercicios 349 9.3 Ejercicios En este conjunto de ejercicios puede suponerse la diferenciabilidad de todas las fun ciones que se consideran. 1. Determinar la solución de la ecuación en derivadas parciales of(x,y) of(x,y) 4-- +3-- =0 ñ x oy que satisfaga la condición f(x, O) = sen x para todo x. 2. Determinar la solución de la ecuación en derivadas parciales of(x,y) of(x,y) 5---2--=0 ox oy que satisfaga las condiciones f(O, O) = O, Y D.j(x, O) = e" para todo x.
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