Considere un espacio vectorial V sobre un campo K, entonces se tienen las
siguientes propiedades:
1. El producto del escalar 0
∈
K por cualquier vector
⃗
v
∈
V es el idéntico aditivo
del espacio vectorial, es decir, ~0
∈
V.
2. El producto de cualquier escalar λ
∈
K por el vector cero ~0
∈
V es el vector ~0
∈
V.
3. Si λ
⃗
v
= ~0, entonces o λ = 0 o
⃗
v
= ~0.
Prueba
: Para la primera parte del teorema, considere la siguiente ecuación en el
campo escalar λ + 0 = λ donde λ
∈
K
Por lo tanto λ
⃗
v
+ 0
⃗
v
= (λ + 0)
⃗
v
= λ
⃗
v
Sin embargo, se sabe de las propiedades de los grupos que si
g + g0 = g, → g0 = 0
Igualando g con λ
⃗
v
, se tiene que 0
⃗
v
=
⃗
0
.
Para la segunda parte del teorema, considere la siguiente ecuación en el espacio
vectorial
⃗
v
+
⃗
0
=
⃗
v
donde
⃗
v
∈
V
Por lo tanto λ
⃗
v
+ λ
⃗
0
= λ (
⃗
v
+
⃗
0
) = λ
⃗
v
Sin embargo, se sabe de las propiedades de los grupos que si
g + g0 = g, → g0 = 0 comparando g con λ
⃗
v
, se tiene que λ
⃗
0
=
⃗
0
Para la parte final del resultado, note que si λ = 0,
Entonces λ
⃗
v
= 0
⃗
v
=
⃗
0
.
Suponga ahora que λ ≠ 0, entonces λ tiene un inverso multiplicativo en el campo
K, denotado por λ
−1
, tal que λ
−1
λ = λλ
−1
= 1. Considere ahora λ
⃗
0
=
⃗
0
Por lo tanto
⃗
v
= 1
⃗
v
= (λ −1λ )
⃗
0
= λ −1 ( λ
⃗
0
) = λ
−1
⃗
0
=
⃗
0
.
Ejercicio de Espacios Vectoriales
Sea A =
[
1
2
3
m
]
Se pide:
a)
Encontrar m para que existan matrices cuadradas B y no nulas tales que
A · B = 0.
b)
Probar que el conjunto de todas estas matrices B, es una variedad lineal de
las matrices cuadradas de orden 2.
Solución:
a)
Para que existan dicha matrices debe verificarse que
Ambos sistemas serán compatibles si
e
incompatibles si m ≠ 6, por lo que solo existirán
matrices B no nulas si m = 6.
b) Sean B1 y B2 dos matrices cuadradas de orden dos tales que AB
1
= AB
2
= 0
Para cualesquiera que sean λ, µ
∈
R se tiene que
A (λB1 + µB2) = λAB1 + µB2 = λ · 0 + µ · 0 = 0
Por lo que λB
1
+ µB
2
es una matriz del mismo tipo y, por tanto, dichas matrices
constituyen una variedad lineal de las matrices cuadradas de orden 2.
Aplicación de Espacios vectoriales en Ingeniería
Los vectores (llamados matrices en Ing. sistemas) se utilizan en el cálculo
numérico, En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, De las ecuaciones
diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio
de sistemas de ecuaciones Lineales, las matrices aparecen de forma natural en
geometría, estadística, Economía, informática, física, etc...
Ahora si resolviendo la interrogante hemos oído hablar de que los juegos de la
computadora, las nuevas películas animadas, etc. Todas estas cosas están
