456 e comparando com a equac ao 23454 obtemos 1 c 2

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(23.456) e comparando com a equa¸c˜ ao (23.454) obtemos 1 c 2 dP dr = - 1 2 dr ρ ( r ) + P ( r ) c 2 (23.457) 499
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Podemos reescrever a equa¸c˜ ao (23.452) como d ( r e - λ ) dr = 1 - 8 πr 2 c 2 (23.458) e integr´ a-la, resultando em: e - λ = 1 - 2 G rc 2 Z r o 4 πr 2 ρdr = 1 - 2 GM r rc 2 (23.459) onde M r denota a massa gravitacional dentro de r : M r = Z r 0 4 πr 2 ρdr (23.460) de modo que para r = R , M r = M , a massa gravitacional da estrela. Essa ´ e a massa que um observador distante mede por efeitos gravitacionais, como, por exemplo, efeitos orbitais. Ela n˜ao ´ e, entretanto, a massa relacionada com o n´umero de b´arions simplesmente, pois cont´ em tamb´ em toda a energia, dividida por c 2 . Dessa forma: ρ = ρ 0 + U c 2 onde ρ 0 ´ e a densidade de massa em repouso, e U a densidade de energia total. Note que, embora a equa¸c˜ ao (23.460) tenha a forma usual da equa¸c˜ ao de continuidade de massa (23.98), nessa m´ etrica (23.438), o elemento de volume esf´ erico ´ e dado por e λ/ 2 4 πr 2 dr , e n˜ao 4 πr 2 dr , que ´ e o elemento sobre o qual a equa¸c˜ ao (23.460) est´a integrada. Podemos agora resolver a equa¸c˜ ao (23.455) em termos de dν/dr , obtendo dr = - 2 dP dr 1 ( ρc 2 + P ) (23.461) e usar as equa¸c˜ oes (23.450) e (23.461) para escrever e - λ - 2 r dP dr 1 ( ρc 2 + P ) + 1 r 2 - 1 r 2 = 8 πGP c 4 (23.462) e finalmente resolver as equa¸c˜ oes (23.459) e (23.462) para dP/dr chegando ` a equa¸c˜ ao de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para o equil´ ıbrio hidrost´atico na relatividade geral: dP dr = - GM r r 2 ρ 1 + P ρc 2 1 + 4 πr 3 P M r c 2 1 - 2 GM r rc 2 - 1 (23.463) 500
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Essa equa¸c˜ ao, derivada em 1939 por Richard Chase Tolman (1881-1948), Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) e George Michael Volkoff, se reverte `a forma usual da Equa¸c˜ ao do Equil´ ıbrio Hidrost´atico (23.99) para c 2 → ∞ . A express˜ao relativ´ ıstica para o gradiente de press˜ao ( dP/e λ/ 2 dr ) ´ e maior do que no caso newtoniano ( dP/dr ), de modo que a press˜ao no interior da estrela aumenta mais rapidamente. Seguindo George William Collins II (1937-) The Fundamentals of Stellar Astrophysics , 1989, (New York: Freeman), um modelo simples ´ e ρ ( r ) = ρ 0 = constante . A equa¸c˜ ao da continuidade da massa dM ( r ) dr = 4 πr 2 ρ torna-se M ( r ) = 4 πr 3 ρ 0 3 enquanto a Tolman-Oppenheimer-Volkoff dP ( r ) dr = - 4 πGrρ 2 0 [1 + P/ ( ρ 0 c 2 )][1 + 3 P/ ( ρ 0 c 2 )] 3[1 - 8 πGρ 0 r 2 / (3 c 2 )] que pode ser integrada. Seja y P ρ 0 γ 8 πGρ 3 c 2 = 2 GM R 3 c 2 Podemos reescrever a equa¸c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´atico como dy dr = - 1 2 γc 2 (1 + y/c 2 )(1 + 3 y/c 2 ) r 1 - γr 2 com a condi¸c˜ ao de contorno y ( R ) = 0. Com zero para a press˜ao na superf´ ıcie, a solu¸c˜ ao desta equa¸c˜ ao ´ e y = c 2 (1 - γr 2 ) 1 / 2 - (1 - γR 2 ) 1 / 2 3(1 - γR 2 ) 1 / 2 - (1 - γr 2 ) 1 / 2 que em termo das vari´ aveis f´ ısicas torna-se P ( r ) = ρ 0 c 2 [1 - 2 GMr 2 / ( R 3 c 2 )] 1 / 2 - [1 - 2 GM/ ( Rc 2 )] 1 / 2 3[1 - 2 GM/ ( Rc 2 )] 1 / 2 - [1 - 2 GMr 2 / ( R 3 c 2 )] 1 / 2 501
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De modo que a press˜ao central pode ser obtida para r=0 P c = ρ 0 c 2 1 - [1 - 2 GM/ ( Rc 2 )] 1 / 2 3[1 - 2 GM/ ( Rc 2 )] 1 / 2 - 1 Quando a press˜ao central aumenta, a estrela reduz o raio, refletindo o maior efeito da gravidade, de modo que lim P c →∞ R = 9 8 2 GM c 2 = 9 8 R S onde R S ´ e o raio de Schwarzschild. Deste modo, o menor raio est´avel de tal objeto ´ e pouco maior que o raio de Schwarzschild. Entretanto, um limite tamb´ em pode ser encontrado restringindo a velocidade do som v s = s P ρ 0 c que nos leva ao limite lim P c c 2 ρ 0 R = 4 3 R S
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