A calcular ogou ag ov y 02g au oven función de las

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a) Calcular og/ou, ag! ov y 02g/( au ov)en función de las derivadas parciales de f. (Pue- de suponerse la igualdad de las parciales mixtas.) b) Si II 'Vf(x, y)ll ' = 2 para todo x e y, determinar las constantes a y b tales que ( og)2 (og)2 a ou - b OV = u 2 + v 2 . 8. Dos funciones F y G de una variable y una función z de dos variables están ligadas por la ecuación [F(x) + G(y)]2 e·(M) = 2F' (x)G' (y) con tal que F(x) + G(y) ~ O. Demostrar que la derivada parcial mixta D,.1Z(X, y) nunca es cero. (Puede suponerse la existencia y continuidad de todas las derivadas que aparezcan.) 9. Un campo escalar f es acotado y continuo en un rectángulo R = [a, b] X [e, d]. Se de- fine en R un nuevo campo escalar g del modo siguiente: g(u, v) = t[J:f(x, y) dxJ dy.
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344 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales a) Puede demostrarse que para cada u fija en [a, b] la función A definida en [e, d] mediante la ecuación A(y) = gf(x, y) dx es continua en [e, d]. Utilizar este resultado para demostrar que ag/av existe y es continua en el rectángulo abierto S = (a, b) X (e, d) (el interior de R). b) Supóngase que .r:[tf(x,y)dx] dy = t[J:f(x,y)dy] dx para todo (u, v) de R. Demostrar que g es diferenciable en S y que las derivadas parcia- les mixtas D 1,2g(U, v) y D 2,lg(u, v) existen y son iguales a f(u, v) en cada punto de S. 10. En relación con el ejercicio 9. Supóngase que u y v se expresan paramétricamente del siguiente modo: u = A(t), v = B(t); Y sea <p(t) = g[A(t), B(t)]. a) Determinar <p'(t) en función de f, A' Y B'. b) Calcular <p'(t) en función de t cuando f(x, y) = e X +1/ y A(t) = B(t) = f. (Supóngase que R está situado en el primer cuadrante.) 11. Si f(x, y, z) = (r x A) . (r x B), siendo r = xi + yi + zk y A Y B son vectores cons- tantes, demostrar que Vf(x, y, z) = B x (r x A) + A x (r x B). 12. Sear = xi + yi + zk y pongamos r = Ilrll. Si A y B son vectores constantes, demos- trar que: I a) A . V(~) = _ A . r . r r 3 b) B' V(A . V(~)) = _3A_'r_B_'_r__A_'_B r r 5 r 3 13. Hallar el conjunto de todos los puntos (a, b, e), en el espacio de 3 dimensiones, en los cuales las dos esferas (x - a)2 + (y - b)2 + (z - e)2 = 1 Y x 2 + + Z2 = 1 se cortan ortogonalmente. (Sus planos tangentes deberán ser perpendiculares en cada punto de intersección.) 14. Un cilindro cuya ecuación es y = f(x) es tangente a la superficie Z2 + 2xz + y = O en todos los puntos comunes a las dos superficies. Hallar f(x).
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9 APLICACIONES DE CÁLCULO DIFERENCIAL 9.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales Los teoremas de Cálculo diferencial desarrollados en el capítulo 8 tienen gran número de aplicaciones. Este capítulo muestra su utilización en algunos ejemplos relativos a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, a las funciones implícitas y a problemas de extremos. Comenzamos con algunas obser- vaciones elementales referentes a las ecuaciones diferenciales en derivadas par- ciales. Una ecuación que relaciona un campo escalar f y sus derivadas parciales se llama ecuación diferencial en derivadas parciales. Dos ejemplos sencillos en los que f es una función de dos variables son la ecuación de primer orden (9.1) of(x, y) = O, ox y la de segundo orden (9.2) Cada una de ellas es una ecuacion diferencial en derivadas parciales lineal ho- mogénea. Esto es, cada una tiene la forma L(f) =
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