Expresamos la función de probabilidad en forma de

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Expresamos la función de probabilidad en forma de tabla: r 0 1 2 n p 0 n q n 1 n p∙q n-1 2 n p 2 ∙ q n-2 n n p n
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MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Veamos un caso particular de la distribución binomial, aquel en el que únicamente se realiza una prueba en lugar de n. A esta variable se le llama variable aleatoria de Bernoulli. La función de probabilidad de esta variable es la siguiente: Valor de la variable 1 0 Probabilidad p q =1-p La media o esperanza matemática será: μ = 1∙p + 0∙q = p La varianza será: σ 2 =(1-p) 2 ∙p+(0-p) 2 ∙q=(1-2p+p 2 )p+p 2 (1-p)=p(1-p)= pq Consideremos ahora el caso de una distribución binomial con n pruebas repetidas; únicamente tendremos que multiplicar por n los resultados anteriores, entonces se tiene: Media: μ = n·p Varianza: σ 2 = n·p·q Desviación típica σ = q p n Estas expresiones son las que se denominan fórmulas para obtención de μ y σ. Ejemplo (7): Se supone que la probabilidad de nacer niño es del 0,50 . Calcula la probabilidad de que en una familia de seis hijos sean: a) Todos varones. b) Al menos, dos varones. c) Tres varones. d) Calcula la media y la desviación típica. Estamos ante una distribución binomial B(6, 1/2), de parámetros n = 6 y p = 1/2 = 0,5. Sea X la variable que expresa el número de hijos varones en las familias de seis hijos. a) Que todos sean varones: P (X = 6)= 6 2 1 6 6 = 0,015625 . b) Que, al menos, haya dos varones: P (X≥ 2) =1 - P (X < 2) = 1 - P (X = 0) - P (X =1)= = 5 6 2 1 2 1 1 6 2 1 0 6 1 = 1 - 0, 109375= 0,890625 c) Que tres sean varones: P (X =3)= 3 3 2 1 2 1 3 6 = 0,3125. d) La media es: μ =n.p=6. 2 1 = 3 varones. la desviación típica vale: σ = q p n = 2 / 1 2 / 1 6 =1,225
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Ejemplo (8):En un grupo de 10 alumnos de un centro educativo se ha comprobado que cada uno de ellos falta a claseel 5 % de los días. Calcular la probabilidad de que un día determinado: a) no se registre ninguna ausencia; b) falten a clase más de 5 alumnos; c) no asista a clase ningún alumno; d) falte a clase un único alumno; e) falten a clase menos de 3 alumnos. Sea X la variable aleatoria discreta que expresa el número de alumnos que faltan a clase, X sigue una distribución binomial de parámetros B(10; 0,05), a) p(X = 0) = 10 95 , 0 0 10 = 0,599 b) p(X > 5) = p(X = 6) + p(X = 7) + p(X = 8) + p(X = 9) + p(X = 10)= = 6 10 0,05 6 ∙0,95 4 + 7 10 0,05 7 ∙0,95 3 + 10 8 0,05 8 ∙0,95 2 + 9 10 0,05 9 ∙0,95 1 + 10 10 0,05 10 = 2,75·10 -6 c) p(x=10)= 10 10 0,05 10 =0,05 10 = 9,8·10 -14 d) p(x=1)= 1 10 0,05∙0.95 9 =10∙0,05∙0,95 9 = 0,315 e) p(x<3) = p(x=0) + p(x=1) + p(x=2)= 10 95 , 0 0 10 +
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  • Fall '15

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