Definição uma fonte é um vértice com grau de

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Definição : Uma fonte é um vértice com grau de entrada 0 e grau de saída 1. Um sumidouro é um vértice com grau de saída 0 e grau de entrada 1. Definição : Um grafo é completo quando existe uma aresta entre dois vértices quaisquer do grafo. O grafo completo de n vértices é denotado por K n . Exemplos: • • • • K 2 K 3 K 4 K 5 (a) (b) (c) (d) Definição : Um subgrafo G’ = (V’, E’) de um grafo G = (V, E) é um grafo tal que V’ V e E’ E. Exemplos: a b a b G G’ G’ c d c d c Definição : Um grafo G = (V, E) é bipartido se V pode ser dividido em dois conjuntos V 1 e V 2 tal que toda aresta de G une um vértices de V 1 a outro de V 2 . Exemplos: •• ••• ••• • ••• K 2, 3 K 3, 3 3
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Um grafo bipartido completo (GBC) possui uma aresta ligando cada vértice de V 1 a cada vértice de V 2 . Se n 1 = V 1 e n 2 = V 2 , o GBC é denotado por K n1, n2 . Definição : Dados dois grafos G 1 = (V 1 , E 1 ) e G 2 = (V 2 , E 2 ), dizemos que G 1 é isomorfo a G 2 se e somente se existe uma função f: V 1 V 2 tal que (v, w) E 1 se (f (v), f (w)) E 2 , para todo v, w V 1 . Exemplo: 1 2 a e 5 c 3 b d 4 f = {(1, b), (5, c), (3, d), (2, a), (4, e)} 1.2 História O primeiro problema de teoria dos grafos foi o das pontes de Könisberg. Como no desenho: terra: v Rio x y terra: w Esta cidade possuía um rio com duas ilhas conectadas por sete pontes como mostra o desenho acima. O problema é saber se é possível caminhar de um ponto qualquer da cidade e retornar a este ponto passando por cada ponte exatamente um vez. Euler resolveu este problema criando um grafo em que terra firme é vértice e ponte é aresta: v x y w Quando caminhamos por um vértice, nós temos que entrar e sair dele (ou vice- versa, no caso do ponto inicial), o que significa que usamos um número par de arestas cada vez que passamos por um vértice. Como o grafo acima possui vértices com número ímpar de arestas, a resposta para o problema é NÃO. 1.3 Aplicações de Te o ria dos Grafos 4
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Nos itens abaixo são detalhados alguns problemas que podem ser resolvidos utilizando teoria dos grafos. Existem funções inúteis no programa? Neste exemplo utilizaremos a linguagem C. Considere que funções são vértices e existe aresta de f para g se existe chamada a g no corpo de f : void f (int n) { if (n 5) g ( ); } Monta-se um grafo de todo o programa: main p f k m n • • g h A execução do programa começa na função main que pode chamar as funções p e f. A função f pode chamar g e h. Claramente, funções k, m e n nunca serão chamadas e podem ser removidas na ligação do programa.
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