La ecuación 915 establece que u satisface la

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La ecuación (9.15) establece que u satisface la ecuación de primer orden LI(u)=O. Luego, según el teorema 9.1 tenemos u(x, t) = <p(x + el) para una cierta función <p. Sea ~ una función primitiva de <P, tal como ~(y) = f~ <p(s)ds, y pongamos 1 v(x, t) = - <I>(x + et). 2e
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354 Aplicaciones de cálculo diferencial Demostraremos que L 2 (v) = L 2 (f). Tenemos av 1 m'( ) - = -'V X + et ax 2e y av 1,,,,( ) - = -'V X + et at 2 ' así que av av r L 2v = at + e OX = <1> (x + et) = ep(x + et) = u(x, t) = Li]', Es decir, la diferencia f - v satisface la ecuación de primer orden Según el teorema 9.1 debe ser f(x, t) - v(x, t) = if¡(x - ct) para una cierta fun- ción if¡. Por consiguiente 1 f't», t) = v(x, t) + 'ljJ(x - et) = - <I>(x + et) + 'ljJ(x - et). 2e Esto demuestra (9.14) poniendo epI = 1... tI> Y ep2 = if¡. 2c Utilicemos ahora las condiciones iniciales (9.13) para determinar las funcio- nes epI y ep2 por medio de las funciones dadas F y G. La relación f(x, O) = F(x) implica (9.16) epI(X) + ep2(X) = F(x). La otra condición inicial, Dd(x, O) = G(x), implica (9.17) eep{(x) - ccp~(x) = G(x). Derivando (9.16) obtenemos (9.18) ep{(x) + ep~(x) = F'(x). Resolviendo (9.17) Y (9.18) respecto a ep~(x) y ep~(x) encontramos ep{(x) = ! F'(x) + -l G(x), 2 2e ep~(x) = ! F'(x) - -l G(x). 2 2e
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La ecuación de ondas uní-dimensional 355 Integrando esas relaciones llegamos a 9?b) - 9?I(O) = F(x) - F(O) + 1.- (X G(s) ds, 2 2e Jo 9?2(X) - 9?2(O) = F(x) - F(O) - 1.- (X G(s) ds. 2 2e Jo Sustituyamos en la primera ecuación x por x + et y en la segunda x por x - et. Luego sumemos las dos ecuaciones que resulten y teniendo en cuenta que 9?I(O) + 9?2(O) = F(O) obtenemos F(x + et) + F(x - et) 1 i x + et f(x, t) = 9?¡(x + et) + 9?lx - et) = ------- + - G(s) ds. 2 2e x-el Esto completa la demostración. EJEMPLO. Supongamos que el desplazamiento inicial viene dado por la fórmula { l + cos 7TX F(x) = O para -1 ~ x ~ 1 , para [x] ~ 1. -1 o a)1 = O x yt y = f(x, 2) I ;:( I -4-3 -2-1 O I ., x 4 y y = f(x, O) = F(x) b) 1= 2 FIGURA 9.2 Solución de la ecuación de ondas representada para los valores t = O Y t = 2. La gráfica de F se muestra en 'las figuras 9.1 a) y 9.2 a). Supongamos que la velocidad inicial G(x) = O para todo x. Entonces la solución que resulta de la ecuación de ondas viene dada por la fórmula f(x, t) = F(x + et) + F(x - et) 2 .
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356 Aplicaciones de cálculo diferencial Las figuras 9.1 y 9.2 representan la curva y = ¡(x, t) para varios valores de 1. Las figuras ponen de manifiesto que la solución de la ecuación de ondas es una combinación de dos ondas estacionarias, una que se desplaza hacia la derecha y la otra a la izquierda, cada una con velocidad c. En los ejercicios que siguen se dan ejemplos en los que se utiliza la regla de la cadena en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales. 9.5 Ejercicios Podemos suponer en estos ejercicios la diferenciabilidad de todas las funciones que se consideran. _ 1. Si k es una constante positiva y g(x, t) = ~xJ,j kt, ponemos a) Demostrar que al = e-Y' og OX ox I( ) - jg(J',t> -u' d x, I - e u. o y b) Demostrar que f satisface la ecuación en derivadas parciales 0'7 al k.,... = -;- (ecuación del calor).
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