Ox ot 2 consideremos un campo escalar f definido en r

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ox: ot 2. Consideremos un campo escalar f definido en R' tal que f(x, y) dependa sólo de la dis- tancia r del punto (x, y) al origen, f(x, y) = g(r), siendo r = (x' + y')Yz. a) Demostrar que para (x, y) ~ (O,O) tenemos 0'7 0'7 1 -;-2 + -;-;; = -g'(r) +g"(r). ox uy- r b) Supongamos además que f satisface la ecuación de Laplace, para todo (x,y) ~ (0,0). Demostrar, aplicando la parte a) que f(x,y)=alog(x' + y')+b para (x, y) ~ (O,O), siendo a y b constantes. 3. Repetir el ejercicio 2 en el caso n-dimensional, siendo n ~ 3. Esto es, supóngase que f(x) = f(xI , ... ,x.) = g(r), siendo r = [x]', Demostrar que 0'7 0'7 n - 1 - + ... + - = --g/(r) + s'tn oxi ox~ r
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Ejercicios 357 para x '" O. Si f satisface la ecuación de Laplace n-dimensional, para todo x '" O, deducir que [(x)= a Ilxl1 2 - n + b para x '" O, siendo a y b constantes. Observación: El operador lineal "V 2 definido por la ecuación ay ay \2[=-+"'+- axi ax~ se llama laplaciana n-dimensional. 4. Laplaciana bi-dimensional en coordenadas polares. La introducción de coordenadas po- lares x ~r cos 8, y ~ r sen 8, transforma f(x, y) en g(r,8). Comprobar las siguientes fór- mulas: ( ag)2 1( a g )2 a) 1I '1[(r cos O, r sen 0)11 2 = ar +? ao . a 2 [ a 2 [ rs 1 a 2 g 1 ag b) ox2 + ay2 = ar2 +? 00 2 +; ñr ' 5. Laplaciana tridimensional en coordenadas esféricas. La introducción de coordenadas esféricas x = p cos O sen rp , y = p sen () sen rp, z = p cos rp, transforma f(x, y, z) en F(p, (J, '1'). Este ejercicio indica cómo hay que proceder para expresar la laplaciana "V 't en función de las derivadas parciales de F. a) Introducir primero las coordenadas polares x = r cos (J, y = r sen (J para transformar f(x, y, z) en g(r, (J, z). Utilizar el ejercicio 4 para demostrar que b) Transformar luego g(r, (J, z) en F(p, (J, '1') tomando z ~ p cos '1', r ~ P sen '1'. Obsér- vese que, salvo un cambio de notación, esta transformación es la misma que la utilizada en la parte a). Deducir 6. Este ejercicio pone de manifiesto que la ecuación de Legendre aparece cuando busca- mos soluciones de la ecuación de Laplace que tengan una forma especial. Sea f un campo escalar que satisfaga la ecuación de Laplace tri-dimensional, "V2f = O. Introduzca- mos coordenadas esféricas como en el ejercicio 5 y pongamos F(p, (J, '1') ~ f(x, y, z).
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358 Aplicaciones de cálculo diferencial a) Supongamos que buscamos soluciones f de la ecuación de Laplace tales que F(p, (J, '1') sean independientes de (J y tengan la forma particular F(p, (J, '1') = pnG('I')' Demostrar que f satisface la ecuación de Laplace si G satisface la ecuación de segundo orden d2G dG drp2 + cot rp drp + n(n + 1)G = O. b) El cambio de variable x = cos '1' ('1' = are cos x, -1:s: x :s:1) transforma G(rp) en g(x). Demostrar que g satisface la ecuación de Legendre d2g dg (1 - x 2 ) dx 2 - 2x dx + n(n + 1)g = O. 7. Ecuación bi-dimensional de ondas. Una membrana delgada y flexible está extendida sobre el plano xy y puede vibrar. Designemos con z = f(x, y, t) el desplazamiento vertical de la membrana en el punto (x, y) en el instante t.
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