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Eplacement au point b ω b α x x α y y α z z ds

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eplacement au point B : ˘ ω B = ( α x ˘ x + α y ˘ y + α z ˘ z ) ds, (2.37) ~u B = ( x ~x + γ y ~ y + γ z ~ z ) ds + ( α x ˘ x + α y ˘ y + α z ˘ z ) ds ~ HB. (2.38) – Supposons cette fois que le point A est mobile et que toute la poutre se d´ eforme. Il suffit de faire la somme des torseurs : du premier et du second que l’on aura int´ egr´ e le long de toute la poutre AB. On obtient les formules de Bresse ci-dessous. Soit une poutre dont l’orientation de la fibre moyenne est de P deb ` a P fin , si le torseur des eformations est not´ e, { Def H } = α x ˘ x + α y ˘ y + α z ˘ z x ~x + γ y ~ y + γ z ~ z = M x /GI c 0 ˘ x + Mf y /EI Hy ˘ y + Mf z /EI Hz ˘ z N/ES ~x + T y /GS y ~ y + T z /GS z ~ z H (2.39) 43 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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alors le torseur de d´ eplacement au point P fin par rapport au torseur de d´ eplacement du point P deb est, { U P fin } = ˘ ω P fin ~u P fin P fin (2.40) { U P fin } = ˘ ω P deb + R s P fin s P deb ( α x ˘ x + α y ˘ y + α z ˘ z ) ds ~u P deb + ˘ ω P deb ~ P deb P fin + R s P fin s P deb ( x ~x + γ y ~ y + γ z ~ z ) ds + R s P fin s P deb ( α x ˘ x + α y ˘ y + α z ˘ z ) ~ HP fin ds P fin (2.41) { U P fin } = ˘ ω P fin ~u P fin = ˘ ω P deb + R s P fin s P deb ( M x /GI c 0 ˘ x + Mf y /EI Hy ˘ y + Mf z /EI Hz ˘ z ) ds ~u P deb + ˘ ω P deb ~ P deb P fin + R s P fin s P deb ( N/ES ~x + T y /GS y ~ y + T z /GS z ~ z ) ds + R s P fin s P deb ( M x /GI c 0 ˘ x + Mf y /EI Hy ˘ y + Mf z /EI Hz ˘ z ) ~ HP fin ds P fin (2.42) Les formules de Bresse ci-dessus sont relatifs `a la cin´ ematique 3. Nous rappelons ci-dessous, les formules de Bresse pour la cin´ ematique 2, qui ne diff` erent que par 3 termes : { U P fin } = ˘ ω P fin ~u P fin = ˘ ω P deb + R s P fin s P deb ( M x /G I 0 ˘ x + Mf y /EI Hy ˘ y + Mf z /EI Hz ˘ z ) ds ~u P deb + ˘ ω P deb ~ P deb P fin + R s P fin s P deb ( N/ES ~x + T y /G S ~ y + T z /G S ~ z ) ds + R s P fin s P deb ( M x /G I 0 ˘ x + Mf y /EI Hy ˘ y + Mf z /EI Hz ˘ z ) ~ HP fin ds P fin (2.43) Erreur classique : Une fois les formules de Bresse utilis´ ees, votre r´ esultat ne doit plus faire apparaˆ ıtre les coordonn´ ees du point H . Si c’est le cas, c’est que vous n’avez pas effectu´ e l’int´ egration entre les abscisses s P deb et s P fin . Erreur classique : Si dans un probl` eme donn´ e, le d´ eplacement en P fin et connu et que vous recherchez le d´ eplacement en P deb , ´ ecrivez la formule de Bresse comme ci-dessus, puis passer le termes compl´ ementaires `a ~u P fin de l’autre cot´ e de l’´ egalit´ e. 2.4.6 exemple d’utilisation : sollicitation de traction Pour une poutre sollicit´ ee en traction-compression, seul l’effort normal N est diff´ erent de 0. La loi de comportement de la fibre moyenne 2.33 fournie donc, x γ y γ z α x α y α z = N/ES 0 0 0 0 0 . (2.44) Les composantes du tenseur des d´ eformations ¯ ¯ en un point P ` a la distance y 1 et z 1
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