D montrer que si ? 0 1 f est c p mais nest pas p 1

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(d) Montrer que si λ ]0 , 1] , f est C p , mais n’est pas p +1 fois dérivable en 0 . Exercice 6 – Soit f définie sur ]0 , 1] par f ( x )= x 3 (1 x )sin parenleftbigg 1 x 2 parenrightbigg , et prolongée par continuité en 0 . 1. Montrer que f est dérivable à dérivée bornée. 2. Montrer que f ([0 , 1]) n’est pas un intervalle fermé. 1
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Exercice 7 – Soit f définie sur R par f ( x )=e 1 x 2 prolongée par 0 en 0 . Montrer que f est de classe C sur R , et que pour tout n N , il existe un polynôme P n tel que pour tout x R , f ( n ) ( x ) = P n ( x ) x 3 n e 1 x 2 . Que vaut f ( n ) (0) ? Exercice 8 – Soit pour tout n N , f n définie sur R + par f n ( x ) = ( x 1) n ln x . Montrer que f n est de classe C sur R + , et que pour tout n N , f ( n ) n 1 ( x )=( n 1)! n summationdisplay k =1 1 x k . Exercice 9 – Montrer que les fonctions f suivantes sont de classe C sur leur domaine de définition D f , et calculer leurs dérivées successives. a ) D f = R , f ( x )= x e x b ) D f = R braceleftbigg b a bracerightbigg , f ( x )= 1 ax + b c ) D f = R − { 1 , 1 } , f ( x )= 1 x 2 1 d ) D f = R , f ( x )=( x a ) 2 ln( x b ) Exercice 10 – Soit f la fonction définie sur R par f ( t )= 1 1+ t 2 . 1. Etude de f . Points d’inflexion. 2. Montrer que la dérivée n -ième s’écrit : t R , f ( n ) ( t )= P n ( t ) (1+ t 2 ) 2 n +1 2 P n est un polynôme de degré n . Calculer a n , le coefficient dominant de P n . 3. Montrer que P n = n 2 P n 1 . Exercice 11 – Soit f la fonction de R + dans R définie par f ( x )= 0 si x =0 x (1 (ln( x )) 2 ) sinon. 1. Continuité, dérivabilité, variations ? Tangente en 0 ? 2. Concavité ? Existence de points d’inflexion ? Tracer la courbe. 3. Montrer que pour tout n greaterorequalslant 1 et pour tout x > 0 , le dérivée n +2 -ième de f est donnée par la formule : f ( n +2) ( x )=( 1) n +1 2 x n +1 n !
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  • Fall '19
  • Gottfried Wilhelm Leibniz, nombre réel, Mathématiques, Théorème des accroissements finis, Dérivabilité, A. Troesch

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