Es ésta una combinación de los valores de en los

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Es ésta una combinación de los valores de / en los vértices de R(h, k), tomados con los signos algebraicos indicados en la figura 8.9. Expresaremos t..(h, k) en' función de D.2.d y también de D l• 2/. Consideremos una nueva función G de una variable definida por la ecuación G(x) = f(x, b + k) - f(x, b) para todo x comprendido entre a y a + h. (Geométricamente, consideramos los valores de / en aquellos puntos en los que una recta vertical corta los lados horí- zontales de R(h, k.) Tenemos entonces (8.32) !!J.(h,k) = G(a + h) - G(a). Aplicando el teorema del valor medio uni-dimensional al segundo miembro de (8.3) obtenemos G(a + h) - G(a) = hG'(x l ), siendo Xl un punto situado entre a y a + h. Puesto que G'(x) = Dlf(x, b + k) - Dlf(x, b), la ecuación (8.32) se transforma en (8.33) !!J.(h,k) = h[D¡f(x 1 , b + k) - D¡f(x 1 , b)]. Aplicando el teorema del valor medio al segundo miembro de (8.33) obtenemos (8.34)
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340 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales siendo y1un punto situado entre b y b + k. El punto (Xl> YI) pertenece al rec- tángulo R(h, k). Aplicando el mismo procedimiento a la función H(y) = f(a + h, y) - f(a, y) encontramos una segunda expresión para Jl(h, k), o sea, (8.35) donde (x 2 , Y2) pertenece también a R(h, k). Igualando las dos expresiones de Jl(h, k) Y suprimiendo hk obtenemos Hagamos ahora que (h, k) -- (O, O) Y teniendo en cuenta la continuidad de D1.d y D 2•l f en el punto (a, b) obtenemos (8.31). El razonamiento anterior puede modificarse para demostrar una versión más fuerte del teorema 8.12. TEOREMA 8.13. Si f es un campo escalar para el cual existen las derivadas parciales Di], Dd Y D2 .d en un conjunto abierto S que contenga (a, b), y si además D2 .d es continua en S. entonces existe la derivada D 1 ,2f(a. b) Y tenemos D1,2f(a, b) = D2,1f(a, b). Demostración. Definamos Jl(h, k) como en la demostración del teorema 8.12. La parte de la demostración que lleva a la ecuación (8.34) es válida, dán- donos (8.36) para un cierto (XI' YI) del rectángulo Rih, k). El resto de la demostración no es aplicable ya que precisa de la existencia de la derivada D 1 ,2f(a, b), que es justa- mente lo que deseamos demostrar. La definición de D 1 2 f(a, b) establece que (8.37) iD1,2f(a, b) = lim D2f(a + h, b) - D2f(a, b) . h~O h
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Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas parciales mixtas 341 Vamos a demostrar que este límite existe y que tiene el valor D 2 .d(a, b). A par- tir de la definición de D 2 f tenemos D 2 f(a, b) = limf(a, b + k) - fea, b) k ...• O k y Dzf(a + h, b) = ¡¡mf(a + h, b + k) - fea + h, b) . k"" O k Por tanto el cociente de diferencias (8.37) puede escribirse del siguiente modo Dzf(a + h, b) - Dzf(a, b) = lim il(h, k) . h k...• O hk Teniendo en cuenta (8.36) podemos ponerlo en la forma (8.38) Dzf(a + h, b) - D 2 f(a, b) _ D f( ) - un 2,1 Xl , Yi . h k"" O Para completar la demostración tenemos que probar que (8.39) lim [lim D 2 ,d(Xl' Yl)] = D 2 .d(a, b). 71•..•0 k'" O Cuando k ~ O, el punto Y1 ~ b, pero es desconocido el comportamiento de XI como función de k.
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