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m 1 ! m 2 ! · · · m n ! n productdisplay k =1 parenleftbigg f ( k ) k ! parenrightbigg m k × g ( m 1 + ··· + m n ) f. Exercice 19 – Étudier les asymptotes de f : x mapsto→ 3 x 3 2 x +1 ( x 1)( x +2) . Exercice 20 – Étudier aussi précisément que possible les fonctions suivantes sur leur domaine de définition (à préciser). On étudiera notamment les points d’inflexion, les propriétés de convexité, et l’existence éventuelle de droites ou de paraboles asymptotes. a ) f ( x )= 1 3 ( x 4 6 x 2 +8 x 2) b ) f ( x )=( x 1)( x 2)e x c ) f ( x )= x x 1+ x d ) f ( x )= x 2 1+ x 4 e ) f ( x )= x 3 1+ x 3 f ) f ( x )= Arctan( x ) 1+ x 2 g ) f ( x )= x +sin x h ) f ( x )=( x +sin x )e x Exercice 21 – Soit f la fonction définie là ou cela a un sens par f ( x )= 1 x ( x 2 +1 ln x ) . 1. Domaine de définition et de dérivabilité de f . 2. Montrer que f admet un unique zéro α , et que 1 . 30 < α < 1 . 35 . 3. Montrer que la courbe représentative de f admet une asymptote au voisinage de + , et donner la position relative de la courbe et de l’asymptote. 4. Soit A l’unique point d’intersection de la courbe et de l’asymptote. Donner l’équation de la tangente en A . 5. Représentation graphique. Exercice 22 – Soit f la fonction définie sur R par f ( x )= x 2 + x +1 x 2 1 , là où cela a un sens. 1. Domaine de f . 2. Étudier les limites au bord du domaine. Déterminer la ou les éventuelle(s) asymptotes. 3. Discuter de la position de la courbe par rapport aux asymptotes au voisinage de l’infini. 4. Variations de f . 5. Montrer que f admet un et un seul point d’inflexion, situé entre 6 et 5 . On le notera α . 6. Étudier la convexité de f (on déterminera les intervalles maximaux sur lesquels f est de même convexité) 7. Tracer sans calcul supplémentaire l’allure du graphe de f . 3
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Exercice 23 Étude détaillée d’une fonction Soit f : x mapsto→ ( x 1) 2 x +1 .
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  • Fall '19
  • Gottfried Wilhelm Leibniz, nombre réel, Mathématiques, Théorème des accroissements finis, Dérivabilité, A. Troesch

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