Ciertas consideraciones físicas su gieren que f

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Ciertas consideraciones físicas su- gieren que f satisface la ecuación bi-dimensional de ondas en la que e es una constante positiva que depende de las características físicas de la membrana. Este ejercicio revela una conexión entre esta ecuación y la ecuación diferen- cial de Bessel. a) Introducir coordenadas polares x = r cos (J, y = r sen (J, y pongamos Fir, (J, t) = = f(r cos (J, r sen (J, t). Si f satisface la ecuación de ondas demostrar que F satisface la ecuación 02F (02F 1 02F 1 OF) - =c 2 - +-- +-- 0/ 2 0,2,2 00 2 r or . b) Si F(r, (J, t) es independiente de (J, Ftr, (J, t) = rp(r, t) la ecuación a) se reduce a Sea ahora '1' una solución tal que rp(r, t) se escinde en el producto de una función de r por una función de t, rp(r. t) = R(r)T(t). Demostrar que cada una de las funciones R y T satisface una ecuación diferencial lineal de segundo orden. e) Si la función T del apartado b) es periódica de período 2 ir[c ; demostrar que R sa- tisface la ecuación de Bessel r 2 R" + r R' + r 2 R = O.
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Derivación de funciones definidas implícitamente 359 9.6 Derivación de funciones definidas implícitamente Algunas superficies en el espacio de tres dimensiones se representan por ecua- ciones cartesianas de la forma F(x,y, z) = O. Una ecuación como ésta, decimos, proporciona una representación implícita de la superficie. Por ejemplo, la ecuación x 2 + y2 + Z2 - 1 = O representa la superfi- cie de una esfera unidad con centro en el origen. Algunas veces es posible des- pejar en la ecuación F(x, y, z) = O una de las variables en función de las otras dos, por ejemplo z en función de x e y. Esto nos conduce a una o varias ecuacio- nes de la forma z = f(x, y) . Para la esfera tenemos dos soluciones, y una representa la semiesfera superior, la otra la semiesfera inferior ... En general no resulta sencillo obtener una fórmula explícita para z en fun- ción de x e y. Por ejemplo, no hay un método para despejar con facilidad z en la ecuación y2 + xz + Z2 _e Z - 4 = O. Sin embargo, utilizando en forma ade- cuada la regla de la cadena se pueden deducir varias propiedades de las derivadas parciales fax y fay sin un conocimiento explícito de f(x, y). En esta sección se expone dicho método. Supongamos que existe una función f(x, y) tal que (9.19) F[x,y,f(x,y)] = O para todo (x, y) en un cierto conjunto abierto S, y que no sea posible dispo- ner de fórmulas explícitas para calcular it», y). Expresemos ésta diciendo que F(x, y, z) = O define z implícitamente como función de x e y, y escribamos z =f(x,y). Introduzcamos ahora una función auxiliar g definida en S como sigue: g(x,y) = F[x,y,f(x,y)].
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360 Aplicaciones de cálculo diferencial La ecuación (9.19) establece que g(x, y) = O en S; luego las derivadas parciales ag/ax y ag/ay son también O en S. Pero también podemos calcular esas deriva- das parciales mediante la regla de la cadena. Para ello escribamos g(x,y) = F[u1(x,y), u 2 (x,y), u 3 (x,y»), siendo U1\X, y) = x, u 2 (x, y) = y, y ua(X, y) = f(x, y).
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