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A prova deste teorema est? além do alcance deste

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Unformatted text preview: A prova deste teorema está além do alcance deste curso. Um circuito eletrônico pode ser considerado um grafo onde as junções são vértices e as arestas são os fios ligando as junções. Se o grafo correspondente ao circuito é planar, todos os fios podem ser gravados na própria placa. Se o grafo não é planar por causa de apenas uma aresta, esta é um fio normal que deve passar por cima da placa. Isto equivale a colocar esta aresta acima do plano contendo o restante do grafo: fio normal • • • fio gravado na • • placa • • • • • • Teorema : Todo grafo planar admite uma representação plana em que todas as linhas são retas. Definição : Um grafo pode ser embebido em uma superfície S se ele pode ser colocado em S de tal forma que quaisquer duas de suas arestas não se cruzam. Teorema : Para cada superfície S, existe um grafo que não pode ser embebido em S. Definição : Uma superfície é uma curva descrita por 2 dimensões, não necessariamente no plano. Ex.: esfera Torus “pneu” Nota : K 5 pode ser embebido no Torus: 38 • • • • • K 3,3 pode ser embebido na fita de Möbius Teorema : Um grafo pode ser embebido na esfera S se ele pode ser embebido no plano. Existe um algoritmo O (n) para determinar se um grafo é planar ou não, feito por Hopcroft e Tarjan. Teorema : Qualquer grafo pode ser colocado em um espaço de três dimensões. Prova : Coloque os vértices do grafo em uma reta X. Então, para cada aresta, faça um plano que contém X. Arestas distintas devem corresponder a planos distintos. Para cada aresta desenharemos um semicírculo ligando os dois vértices. As arestas não se interceptarão porque elas estarão em planos diferentes. β • d • c • b • a X α • a (b, d) β (a, d) c • • b • α • d (a, b) (a, c) 39 9.1 Exercícios 64 Prove: Se G é planar, qualquer subgrafo de G é planar. 65 Prove que K 3, 3 não é planar. 66 Desenhe um grafo não planar com oito vértices com um número mínimo de arestas. 40 10 Emparelhamento Dado um grafo, um emparelhamento é um conjunto de arestas t tal que duas delas não possuem vértice em comum. Ex.: • • • • • • • significa uma aresta do emparelhamento Pela definição, um vértice não é incidente a mais de uma aresta do emparelhamento: • Errado • • Emparelhamento Bipartido Seja G = (V, E, U) um grafo bipartido tal que V e U são os conjuntos de vértices disjuntos. V U Problema : Encontre um emparelhamento de cardinalidade máxima em G. V pode representar um conjunto de trabalhadores e U um conjunto de habilidades ou profissões (eletricista, secretária, telefonista, digitador, mecânico). Uma aresta liga um trabalhador a todas as profissões a que ele está habilitado....
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