As arestas também podem ser consideradas estradas os

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As arestas também podem ser consideradas estradas, os vértices cruzamentos e o fluxo a capacidade de automóveis por minuto da estrada. Um exemplo de um grafo com os fluxos e capacidades é mostrado abaixo. 4/3 significa c (e)/f (e); isto é, capacidade 4 e fluxo 3. 4/3 5/5 3/2 3/3 7/5 4/4 7/7 s 4/1 6/5 1/1 6/5 5/5 Claramente, há um fluxo máximo que pode se originar em s e chegar em t respeitando-se as capacidades de cada aresta. Definição : Um corte é um conjunto de arestas dirigidas ligando um vértice de um conjunto A de vértices a vértice de um conjunto B. A contém s e B = V - A. Um corte é um conjunto de arestas que separa um conjunto contendo s de um conjunto contendo t . Ex.: S t A B C D Os cortes são as linhas Teorema : O valor do fluxo máximo em uma rede é igual à capacidade do corte de menor capacidade. 45
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A capacidade de um corte é a soma das capacidades de suas arestas. Claramente o fluxo máximo não pode ser maior que a capacidade de algum corte da rede: B A 3 2 4 De outra forma, o fluxo excederia a capacidade das arestas do corte. A prova de que o fluxo máximo é igual à mínima capacidade de um corte utiliza caminhos alternantes e não será feita aqui. Definição : Uma seqüência aumentante (SA) em G dado um fluxo f é uma seqüência de arestas que ligariam s a t se as arestas não fossem dirigidas: e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 s t Cada uma das arestas (a, b) da SA deve satisfazer uma das condições abaixo: 1. se (a, b) for dirigida de s para t , então f (a, b) < c (a, b). Isto é, as arestas que apontam” na direção de t podem ter o seu fluxo aumentado. Veja as arestas e 1 , e 2 e e 5 . 2. Se (a, b) for dirigida de t para s , então f (a, b) 0. Isto é, as arestas que “apontam” de t para s podem ter o seu fluxo diminuído. Veja e 3 e e 4 . Considere o vértice: e 1 c 1 /f 1 5/3 7/1 e 3 e 4 e 2 c 2 /f 2 onde 5/3 significa fluxo 3 e capacidade 5. Como todo o fluxo que entra sai, 3 + 1 = f 1 + f 2 = 4. Claramente podemos aumentar em 1 o fluxo em e 3 e diminuir de 1 em e 4 : (3 + 1) + (1 - 1) = f 1 + f 2 = 4 Estamos admitindo que os fluxos do restante do grafo podem ser ajustados para que isto aconteça. Considere agora a S A 5/3 7/4 3/1 10/1 3/0 s t a b c d de um grafo G (não representado acima). Então podemos aumentar o fluxo no caminho s - a - b - c de 2 , pois as arestas possuem capacidade para tanto. Isto é, a menor diferença c (e) - f (e) no caminho é 2: 46
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2 { 3 { } 2 s a b c Em c , temos que reduzir o fluxo de d para c de 2 , já que o fluxo b c foi aumentado de 2. Como f (d, c) = 1, isto não é possível. Então voltamos à SA e aumentamos o fluxo em s - a - b - c de 1. Agora f (d, c) diminui de 1 e consequentemente f (d, t) aumenta de 1. No caso geral, o fluxo em uma SA pode ser aumentado do menor entre os valores: 1. min (c (e) - f (e)) entre as arestas que “apontam” para t .
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