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31 projeto de algoritmos por indução construiremos

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3.1 Projeto de Algoritmos por Indução Construiremos um algoritmo para calcular o valor de um polinômio num dado ponto. Isto é, calcular P n (x), dado x, assumindo P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 1 x + a 0 . Usaremos a técnica indutiva que é admitir que sabemos como resolver um problema menor e então usaremos este resultado para resolver o problema completo. A hipótese de indução (HI) para o problema de calcular P n (x) é: HI: Sabemos como calcular P n - 1 (x) sendo P n - 1 (x) = a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + … + a, x + a 0 . O caso base é n = 0 que resulta em P 0 (x) = a 0 que é trivial. Para calcular P n (x) usando P n - 1 (x) temos apenas que adicionar a n x n . P n (x) = P n - 1 (x) + a n x n Esta fórmula resulta no algoritmo abaixo Algorithm Pol(a', n, x) Entrada: a' = (a 0 , a 1 , …, a n ), n e x Saída: a n x n + … + a 1 x + a 0 begin S = a 0 for i = 1 to n do S = S + a i x i return S; end ou na versão recursiva: Algorithm Pol(a', n, x) Entrada: a' = (a 0 , a 1 , …, a n ), n e x Saída: a n x n + … + a 1 x + a 0 begin if a' == a 0 then 17
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return a 0 else return Pol (a' - { a n } , n - 1, x) + a n x n endif end Este algoritmo não é eficiente pois ele faz n + (n - 1) + (n - 2) + … + 2 + 1 = n (n + 1)/2 multiplicações e n adições. Usaremos uma HI diferente para conseguir um resultado melhor. Para isto definimos Q n - 1 (x) = a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + … + a 1 HI: Sabemos como calcular Q n - 1 (x) O caso base é n = 0 que é o caso trivial. Para calcular P n usando Q n - 1 usamos a seguinte fórmula: P n (x) = x Q n - 1 (x) + a 0 O número total de multiplicações é n e o número de somas é n. O algoritmo final é: Algorithm Pol (a', n, x) Entrada: a = (a 0 , a 1 , … a n ), n e x Saída: a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 1 x + a 0 begin if a' == a 0 then return a 0 else return x*Pol ((a 1 , a 2 , …, a n ), n - 1, x) + a 0 endif end 3.2 Problema da Celebridade Um problema interessante é o chamado “problema da celebridade”. Há um conjunto de n pessoas e queremos descobrir uma celebridade entre elas. Uma celebridade é uma pessoa que não conhece as outras n - 1 pessoas e é conhecida por todas elas. Nós só podemos perguntar a cada pessoa se ela conhece alguma outra. Assim, o número total de perguntas que poderemos fazer é n (n - 1). Podemos representar este problema usando um grafo dirigido onde existirá uma aresta de v para w se v conhecer w. O objetivo seria encontrar um vértice com n - 1 arestas de entrada e 0 de saída. Para resolver este problema, tentaremos reduzir o tamanho do problema para n - 1 eliminando uma pessoa que não é celebridade. Tomando duas pessoas A e B quaisquer e perguntando se A conhece B, podemos eliminar: A se a resposta for sim, pois uma celebridade não conhece ninguém. 18
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B se a resposta for não, pois todo mundo conhece a celebridade. Deste modo podemos tomar duas pessoas A e B quaisquer, eliminar uma delas (Digamos A, que não é celebridade) e resolver o problema para as restantes n - 1 pessoas. Neste caso há duas possibilidades: 1. A celebridade está entre as restantes n - 1 pessoas.
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What students are saying

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    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

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