Usando a lei de hubble v h r onde h e a constante de

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Usando a lei de Hubble : v = H 0 r onde H 0 ´ e a constante de Hubble no presente, e M = ρ c 4 π 3 r 3 onde ρ c ´ e a densidade cr´ ıtica, isto ´ e, a densidade necess´aria para parar a expans˜ao do Universo, E = 0, obtemos: 1 2 H 2 0 mr 2 - 4 3 ρ c mr 2 = 0 ρ c = 3 H 2 0 8 πG Usando H 0 = 75 km/s/Mpc, obtemos ρ c 1 , 1 × 10 - 26 kg / m 3 = 1 , 1 × 10 - 29 g / cm 3 653
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que pode ser comparado com a densidade de mat´ eria vis´ ıvel observada, que ´ e da ordem de 10 - 31 g / cm 3 , ou seja, cerca de 100 vezes menor do que a densidade cr´ ıtica. Vamos escrever a distˆancia entre dois pontos quaisquer no espa¸co como: r ( t ) = a ( t ) r 0 , (27.1) onde a ( t ) ´ e um fator de escala crescente com o tempo para um Universo em expans˜ao e r 0 ´ e a distˆancia entre os dois pontos no instante t 0 em que a 0 = a ( t 0 ) = 1. A velocidade de recess˜ao entre os dois pontos pode ser obtida derivando- se (27.1) no tempo: v ( t ) = dr dt = da dt r 0 = 1 a da dt r ( t ) Se escrevermos: v ( t ) = H ( t ) r ( t ) , (27.2) como na lei de Hubble, identificamos H ( t ) = a ( t ) - 1 da/dt = ˙ a ( t ) a ( t ) (27.3) 27.11.2 Idade do Universo Podemos, tamb´ em, derivar a idade do Universo para o caso do Universo plano (E=0), escrevendo v = dr/dt na equa¸c˜ ao da energia total: 1 2 m dr dt 2 = GMm r -→ dr dt = 2 GM r 1 2 (27.4) ou r 1 2 dr = (2 GM ) 1 2 dt Integrando-se os dois lados, e usando r=0 para t=0, obtemos: 2 3 r 3 2 = (2 GM ) 1 2 t (27.5) Como a lei de Hubble pode ser escrita como: dr dt = H 0 r para t = t 0 654
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podemos usar a equa¸c˜ ao (27.4) para escrever o termo (2 GM ) 1 2 em fun¸c˜ ao da constante de Hubble: dr dt = H 0 r = 2 GM r 1 2 -→ (2 GM ) 1 2 = H 0 r 3 2 que, substituindo na equa¸c˜ ao (27.5), nos d´a: 2 3 = H 0 t 0 t 0 = 2 3 H - 1 0 , para E=0 27.11.3 Parˆ ametro de densidade Consideremos, agora, a for¸ca gravitacional resultante sobre uma part´ ıcula pertencente a um Universo de massa M , homogˆ eneo e isotr´opico, em ex- pans˜ao. Consideraremos uma part´ ıcula na superf´ ıcie da esfera de raio r ( t ): Em um dado instante, a part´ ıcula sofrer´a uma acelera¸c˜ ao gravitacional dada por: d 2 r dt 2 = - GM r 2 (27.6) Essa acelera¸c˜ ao ´ e de frenagem, ou seja, tender´a a reduzir a expans˜ao do Universo. A energia mecˆanica da part´ ıcula, E , assumindo-se Λ = 0, ser´a: E = 1 2 m dr dt 2 - GMm r (27.7) Note que, no caso em que apenas a gravidade atua no Universo, E = constante. Nesse caso, sabemos que o sinal de ε determina se as part´ ıculas poder˜ao se afastar indefinidamente umas das outras – ou n˜ao: E > 0 expans˜ao indefinida: Universo aberto. E < 0 expans˜ao contida: Universo fechado. Omitiremos a coordenada t para r(t) e H(t) na deriva¸c˜ ao a seguir. Como a massa M ´ e dada por M = 4 πr 3 3 ρ ( t ) , (27.8) podemos reescrever a equa¸c˜ ao (27.7) como: 2 E = m dr dt 2 - m 8 πGr 2 3 ρ ( t ) (27.9) 655
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Seja agora a densidade cr´ ıtica, ρ c , definida como aquela para a qual a gravidade est´a no limite de conter a expans˜ao (ou seja, E = 0): ρ c ( t ) = 3 H 2 8 πG (27.10) Inserindo ρ c ( t ) na equa¸c˜ ao (27.9), temos: 2 E mr 2 = H 2 - H 2 ρ ( t ) ρ c ( t ) = H 2 [1 - Ω( t )] (27.11) onde Ω( t ) = ρ ( t ) ρ c ( t ) ´ e chamado parˆametro de densidade. Como r 2 e H 2 s˜ao sempre positivos, os sinais de E e Ω( t ) est˜ao anti- correlacionados: Ω( t ) > 1 ρ ( t ) > ρ c ( t ) , E < 0: Universo fechado.
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