42 o algoritmo faz uma primeira aproximação

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O algoritmo faz uma primeira aproximação escolhendo aleatoriamente arestas para o emparelhamento. Então ele procura caminhos alternantes, modificando o emparelhamento apropriadamente até que não existam mais caminhos alternantes. Então, pelo teorema, o emparelhamento resultante é máximo. Para encontrar os caminhos alternantes, criamos um grafo dirigido G’ a partir de G = (V, E, U) tal que G' possui os mesmos vértices e arestas que G. Cada aresta de G' possui uma direção (afinal, G' é dirigido) que depende da aresta correspondente de G: se a aresta de G pertence ao emparelhamento, a direção da aresta de G' é de V para U; se não pertence, a aresta de G' aponta de U para V. No exemplo abaixo são mostrados G e G’: 1 2 3 4 5 6 V U A B C D E F G 1 2 3 4 5 6 } V } U A B C D E F G’ Em G’, um caminho qualquer começando em um vértice não acasalado em U e terminando em um vértice não acasalado em V corresponde exatamente a um caminho alternante em G. Como exemplo, encontraremos um emparelhamento máximo para o grafo abaixo. 1 2 3 4 } V } U A B C D Primeiro, fazemos uma primeira tentativa para M, colocando tantas arestas quanto possível: 43
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1 2 3 4 } V G } U A B C D G’ Um caminho em G’ conforme descrito anteriormente é D3B2A1. Invertendo as arestas de M em G, temos 1 2 3 4 A B C D G’ resulta em 1 2 3 4 V U A B C D que não possui mais nenhum vértice não acasalado por onde começar um novo caminho alternante. Portanto o emparelhamento resultante é máximo. 10.1 Exerc í cios 67 Encontre um emparelhamento máximo para os grafos abaixo. V V a) b) U U Utilize o algoritmo dos caminhos alternantes. Mostre a execução de cada passo do algoritmo. 68 Explique porque um caminho alternante possui um número par de arestas do emparelhamento M e um número ímpar de arestas do conjunto E - M. 44
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11 Fluxo em Redes Seja G = (V, E) um grafo dirigido com um vértice s chamado fonte com grau de entrada 0 e um vértice t chamado sumidouro com grau de saída 0. A cada aresta e é associada uma capacidade c (e) 0. A capacidade da aresta e mede a quantidade de fluxo que pode passar através dela. Um fluxo é uma função f nas arestas de G tal que: 1. 0 f (e) c (e). O fluxo através de uma aresta não excede sua capacidade; 2. Para todo v V - {s, t} Σ f (u, v) = Σ f (v, w) u w Isto é, o total de fluxo que entra em v é o mesmo que sai. Podemos imaginar os vértices como junções e as arestas como canos d’água. Cada cano possui uma capacidade dada em m 3 /s além da qual ele arrebenta.
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