El conjunto lc se llama conjunto de nivel de f en r

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El conjunto L(c) se llama conjunto de nivel de f. En R~, L(c) se llama curva de nivel; en R" superficie de nivel. En muchas aplicaciones físicas se presentan familias de curvas de nivel. Por ejemplo, si f(x, y) representa la temperatura en (x, y), las curvas de nivel de f (curvas de temperatura constante) se llaman isotermas. El flujo de calor tiene lugar en la dirección del cambio más rápido de la temperatura. Luego, en una hoja plana delgada el flujo de calor tiene lugar a lo largo de una familia de curvas ortogonales a las isotermas. Esas se llaman líneas de flujo; son las trayectorias ortogonales de las isotermas. Véase la figura 8.6. Consideremos ahora un campo escalar f diferenciable en un conjunto abierto S de R'\ y examinemos una de sus superficies de nivel, L(c). Sea a un punto en esa superficie, y consideremos una curva r situada en la superficie y que pase por a, como está indicado en la figura 8.7. Demostraremos que el vector gradiente Superficie de nivel 1.((') FIGURA 8.8 El vector gradiente '\l f es normal al plano tangente a 1IIl</ supcrí icic de nivel f(x, y, z) = c.
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326 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales v fCa) es normal a esa curva en a. Esto es, demostraremos que V fea) es perpen- dicular al vector tangente de r en a. A tal fin supongamos que I' está definida para- métricamente por una función vectorial derivable r definida en un cierto inter- valo J de R 1 Puesto que r está situada en la superficie de nivel L(c), la función r satisface la ecuación f[r(t)] = e para todo tde J. Si g(t) = f[r(t)] para t en J, la regla de la cadena establece que g' (t) = Vf[r(t)] . r' (r). Puesto que g es constante en J, tenemos g'(t) = O en f. En particular, eligiendo t, de modo que g(tl) = a encontramos que Vf(a) . r' (tI) = o. Es decir, el gradiente de f en a es perpendicular al vector tangente r'(tl) como se afirmó. Tomemos ahora una familia de curvas en la superficie de nivel L(c) que pasen por el punto a. Según lo dicho en la discusión anterior, los vectores tangentes a todas esas curvas son perpendiculares al vector gradiente Vf(a) . Si éste no es cero, dichos vectores tangentes determinan un plano, y el gradiente Vf(a) es normal a este plano. (Véase figura 8.8.) Tal plano se llama plano tangente a la superficie L(c) en a. En el Volumen 1 se vio que un plano que pase por a con vector normal N está constituido por todos los puntos x de R 3 que satisfacen la ecuación (x - a) = O. Por consiguiente el plano tangente a la superficie de nivel L(c) en a estará constituido por todos los puntos x de R 3 que satisfagan Vf(a) . (x - a) = o. Para obtener una ecuación cartesiana de ese plano expresaremos x, a, y Vf(a) en función de sus componentes. Escribiendo x = (x, y, z), a = (Xl' y¡. Z,), y Vf(a) = DI/(a); + Dd(a)j + Daf(a)k, obtenemos la ecuación cartesiana
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Ejercicios 327 A los campos escalares definidos en R 2 se aplica una discusión parecida. En el ejemplo 3 de la sección anterior hemos demostrado que el vector gradiente vf(a) en un punto a de una curva de nivel es perpendicular al vector tangente a la curva en a.
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