Β d c b a x α a b d β a d c b α d a b a c 39 91

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β d c b a X α a (b, d) β (a, d) c b α d (a, b) (a, c) 39
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9.1 Exercícios 64 Prove: Se G é planar, qualquer subgrafo de G é planar. 65 Prove que K 3, 3 não é planar. 66 Desenhe um grafo não planar com oito vértices com um número mínimo de arestas. 40
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10 Emparelhamento Dado um grafo, um emparelhamento é um conjunto de arestas t tal que duas delas não possuem vértice em comum. Ex.: significa uma aresta do emparelhamento Pela definição, um vértice não é incidente a mais de uma aresta do emparelhamento: Errado Emparelhamento Bipartido Seja G = (V, E, U) um grafo bipartido tal que V e U são os conjuntos de vértices disjuntos. V U Problema : Encontre um emparelhamento de cardinalidade máxima em G. V pode representar um conjunto de trabalhadores e U um conjunto de habilidades ou profissões (eletricista, secretária, telefonista, digitador, mecânico). Uma aresta liga um trabalhador a todas as profissões a que ele está habilitado. João Pedro Ana V U Digitador Secretário (a) Telefonista Mecânico O problema então é dar empregos ao máximo número de pessoas respeitando suas habilidades. Para o grafo acima, uma solução seria: J P A d s t m emparelhamento = M = {(J, t), (P, m), (A, s)} 41
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Um caminho alternante P para um emparelhamento M é um caminho de um vértice u em U para v em V, ambos não emparelhados em M, tal que as arestas de P estão alternativamente em E - M e M. Ex.: 1 2 3 • • • M: • • • a b c 1 a 2 b é um caminho alternante para M: 1 2 U V a b Um caminho alternante sempre será da forma v •••• ••• u A primeira e a última aresta não pertencem a M. Se o caminho começasse em V e terminasse em V, ele teria um número par de arestas. Como ele começa em V e termina em U, ele possui um número ímpar. Ex.: V •••• U V •••••• U Um caminho alternante terá sempre uma aresta que não pertence a M a mais que o número de arestas em M. Então, podemos inverter as arestas pertencentes a M / não pertencentes criando um emparelhamento M’ que possui uma aresta a mais que M: V U V U Sempre que existir um caminho alternante, o emparelhamento M não será o máximo em G. O contrário também é verdadeiro, resultando em Teorema : Um emparelhamento M em G é um emparelhamento máximo se e somente se G não contém nenhum caminho alternante para M. Construiremos agora um algoritmo para encontrar o emparelhamento máximo em G baseado neste teorema. Utilizaremos o fato de que qualquer emparelhamento que não é máximo possui um caminho alternante e este pode estender o emparelhamento. Grande parte dos algoritmos de teoria dos grafos são feitos desta forma: toma-se um teorema e constrói-se um algoritmo baseado nele.
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