A 1 b 00 c 010 d 011 dabaabcaa 011100110001000 15

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A 1 B 00 C 010 D 011 DABAABCAA 011100110001000 15 bits Se representássemos cada caráter com 2 bits (A = 00, B = 01, C = 10, D = 11) usaríamos 9 × 2 = 18 bits. Poderia haver ambigüidades na representação. Por exemplo, se A = 1 e B = 10, não saberíamos se 1010 é AC ou BB. Em geral, o código de um caráter não pode ser prefixo de outro. x x x x x x x x A B Esta restrição implica que colocar menos bits para alguns caracteres significa mais bits para outros. A compressão de dados utilizando esta técnica implica em encontrar uma relação caracteres/bits que satisfaça a restrição de prefixos e que minimize o número total de bits para codificar o texto. Para saber que caracteres aparecem mais ou menos no texto, calculamos inicialmente a freqüência de cada caráter. Assuma que, em um texto F, os caracteres c 1 , c 2 , … c n aparecem com freqüências f 1 , f 2 , … f n . Uma codificação E associa cada c i a uma string S i de bits cujo tamanho é s i . O nosso objetivo é encontrar codificação E que satisfaça a restrição de prefixo e minimize n L (E, F) = Σ s i . f i i=1 que é o tamanho do texto comprimido. No exemplo anterior, E = { (A, 1), (B, 00), (C, 010), (D, 011) } e s 1 = 1, s 2 = 2, s 3 = 3, s 4 = 3 e L (E, F) = 5 . 1 + 2 . 2 + 1 . 3 + 1 . 3 = 15 53
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Considere uma árvore binária dirigida em que cada vértice possui grau de saída 0 ou 2 e as arestas da esquerda e direita estão associados os números 0 e 1, respectivamente: 0 1 0 1 1 A 00 B 0 1 010 011 C D Associamos as folhas aos caracteres e a seqüência de bits da raiz até a folha como a codificação do caráter. Para decodificar um texto codificado, percorremos a árvore até encontrar o 1.º caráter. Depois fazemos outra busca para o 2.º caráter e assim por diante. Observe que, como os caracteres são folhas, a restrição de prefixo é obedecida. Uma seqüência de bits só poderia ser prefixo de outra se o caráter correspondente estivesse no meio da árvore: 0 1 A = 1 B B = 0 0 1 0 C = 00 A D = 01 C D Agora temos que construir uma árvore que minimize L (E, F). Usamos indução finita para reduzir o problema de n para n - 1 caracteres. O caso base é n = 2 e é trivial. HI: Sabemos como construir a árvore descrita acima para n - 1 caracteres. Para resolver o problema, tomaremos n caracteres e combinaremos 2 deles em um nó, resultado em n - 1 caracteres. Aplicamos a HI para n - 1 obtendo uma árvore na qual os dois caracteres combinados são introduzidos: 54
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0 1 reintroduzindo 0 os 2 caracteres c 0 1 obtido p / n - 1 c = caracteres c 1 c 2 combinados Os caracteres a serem combinados (c 1 e c 2 ) são os nós com menor freqüência. Nós podemos assumir que c 1 e c 2 são filhos de um mesmo vértice porque cada vértice possui um ou dois filhos. Obs.: Não provamos que a árvore obtida desta forma minimiza L (E,F).
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