Θ θ θ θ cos 1 mgl v onde o zero da energia

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θ = θ = & & ( ) ( ) θ - = θ cos 1 mgL V onde o zero da energia gravitacional foi escolhido na posição mais baixa da massa. A energia total E = K + V é uma constante de movimento e assim, dE/dt = 0. Logo: L M θ O g m r
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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 184 ( ) 0 cos 1 mgL 2 mL dt d 2 2 = θ - + θ & ( ) 0 sen g L mL sen mgL mL 2 = θ + θ θ = θ θ + θ θ & & & & & & & 0 L g 2 0 = θ ω + θ = θ + θ & & & & onde a aproximação sen θ θ foi usada. 9.5 O pêndulo físico Pêndulo físico é o nome dado a qualquer corpo rígido suspenso por um ponto diferente do centro de massa, que quando solto de um certo ângulo oscila em torno da posição de equilíbrio, como mostrado na Fig. 9.8. Fig. 9.8 - Pêndulo físico. Para se encontrar a equação diferencial do pêndulo físico, usa-se o mesmo procedimento adotado para o pêndulo simples. O torque é θ - = τ sen mgD e, portanto, θ = θ - = τ & & I sen mgD onde I / mgD 2 0 = ω é a freqüência natural de oscilação. No caso do pêndulo matemático, 2 mD I = e, portanto, D / g 2 0 = ω . No caso de uma barra delgada de massa m e comprimento 2 / L D , ML I , L 2 3 1 = = é a posição do centro de massa e, portanto, L / g 2 3 2 0 = ω . D θ O CM
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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 185 9.6 Oscilação de dois corpos Vamos considerar o caso em que dois corpos de massas M 1 e M 2 são interconectados através de uma mola de constante k e comprimento livre l , como mostra a Fig. 9.9. Seja x 1 (t) e x 2 (t) a posição dos corpos em relação a uma origem arbitrária. A variação no comprimento da mola é dada por: x = (x 2 – x 1 ) – l de forma que se a mola estiver distendida x > 0 e se estiver comprimida x < 0. Fig. 9.9 Corpos conectados por uma mola . As forças sobre os corpos dependerá do sinal de x: kx x M kx x M 2 2 1 1 - = = & & & & Podemos combinar estas equações de movimento e obter resultados interessantes. Por exemplo, somando as duas equações temos: ( ) 0 a M M a M a M dt x d M dt x d M CM 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 = + = + = + Isto implica que a aceleração do centro de massa é nula e, consequentemente, a velocidade do centro de massa é constante, pois não existem forças externas. Podemos também analisar o movimento relativo ao centro de massa. Vamos re-escrever as equações de movimento como: x M k dt x d 1 2 1 2 = x M k dt x d 2 2 2 2 - = M 1 M 2 0 x 1 x 2
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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 186 Subtraindo a primeira da segunda, obtemos: ( ) x M 1 M 1 k x x dt d 1 2 1 2 2 2 + - = - 0 x x k dt x d 2 0 2 2 = ω + μ - = & & onde 2 1 M 1 M 1 1 2 0 e / k + = μ = ω μ é chamada de massa reduzida . Desta forma, encontra-se uma equação diferencial bastante conhecida que descreve entre os dois corpos como função do tempo. A introdução da massa reduzida faz com que o oscilador constituído de dois corpos seja equivalente ao sistema de apenas uma massa e uma mola. Esta consideração é bastante importante no estudo de vibrações moleculares.
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  • Derivada, PÊNDULO, equação, Física II, frequência, atrito, oscilador harmônico, Oscilações

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