Si x a y tenemos la fórmula de taylor de primer

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Si x = a + y, tenemos la fórmula de Taylor de primer orden fea + y) - fea) = 'Vf(a) . y + Ily 1I E(a, y), donde E(a, y) --+- O cuando y --+- O En un punto estacionario, 'Vf(a) = O Y la fórmula de Taylor toma la forma fea + y) - fea) = lIy 11 E(a, y). Para determinar el signo algebraico de fea + y) - fea) necesitamos más infor- mación relativa al término de corrección Ilyll E(a, y). El teorema que sigue nos dice que si f tiene en a, derivadas parciales de segundo orden continuas, el tér- mino de corrección o complementario es igual a la forma cuadrática, 1 n n 2 L L Di;/(a)YiY; i=1 ;=1 más un término de orden menor que Ily112. Los coeficientes de la forma cuadrá- tica son las derivadas parciales de segundo orden Vid = V¡(Djf), calculadas en a. La matriz n »;n de las derivadas segundas Vijf(x) es la llamada matriz hessiana (*) y se designa por H(x). Así pues, tenemos con tal que existan las derivadas. La forma cuadrática puede escribirse más sen- cillamente en forma matricial como sigue: . n n ! ! Di;/(a)YiY; = yH(a)yt , i=1;=1 (*) De Ludwig atto Hesse (1811-1874), matemático alemán autor de muchas contri buciones a la teoría de superficies.
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376 Aplicaciones de cálculo diferencial en donde y = (YI> ••• , Yn) se considera como una matriz fila 1X n, e yl es su transpuesta, una matriz columna n X 1. Cuando las derivadas parciales Dui son continuas tenemos D¡¡f = D¡¡f Yla matriz H(a) es simétrica. La fórmula de Taylor que da una aproximación cuadrática para fea + y) _ f(a), toma ahora la siguiente forma. TEOREMA 9.4. FÓRMULA DE TAYLOR DE SEGUNDO ORDEN PARA CAMPOS ES- CALARES. Si f es un campo escalarcon derivadas parciales segundas D¡¡f conti- nuas en una n-bola B(a), entonces para todo y de R" tal que a + y E B(a) tenemos 1 (9.34) fea + y) - fea) = 'Vf(a) . y + - yH(a + cy)l, 2! donde O < e < 1 . Esto puede escribirse también en la forma (9.35) fea + y) - fea) = 'Vf(a) . y + .l yH(a)yt + IIY!1 2 E 2 (a, y), 2! en donde E2 (a, y) -+- O cuando y -+- O. Demostración. Mantengamos y fijo y definamos R(U) para u real mediante la ecuación g(u) =f(a + uy) para -l.~ u ~ 1. Entonces fea + y) - fea) = g(1) - g(O). Demostraremos el teorema aplicando la fórmula de Taylor de segundo orden a (1 en el intervalo [O, 1]. Obtenemos (9.36) 1 gel) - g(O) = g/(O) + - g/(c), 2! donde O < e < 1. Aquí hemos utilizado para el resto la forma de Lagrange (véase la sección 7.7 del Volumen 1). Puesto que g es una función compuesta dada por g(u) = f[r(u)], siendo r(u) = a + uy podemos calcular su derivada mediante la regla de la cadena. Tenemos r/(u) =.y así que la regla de la cadena nos da n g/(u) = 'Vf[r(u)] . r'(u) = 'Vf[r(u)] . y = I Dd[r(u)]y;, ;=1
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Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares 377 con tal que r(u) E B(a). En particular, g'(O) = V f(a)' y . Aplicando una vez más la regla de la cadena encontramos Luego g"(c) = yH(a + cy)yt, con 10 que la ecuación (9.36) se transforma en la (9.34). Para demostrar (9.35) definamos E 2 (a, y) por la ecuación (9.37) lIyll2 E 2 (a, y) = 1- y{H(a + cy) - H(a)}l si y':¡é O, 2!
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