El lector debería comprobar que un subconjunto

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El lector debería comprobar que un subconjunto abierto de Rl ya no es un conjunto abierto cuando se considera como subconjunto de R2, porque un sub- conjunto de Rl no puede contener una 2-bola.
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300 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales DEFINICIONES DE EXTERIOR Y FRONTERA. Un punto x se llama exterior al conjunto S de R" si existe una n-bola B(x) que no contiene puntos de S. El con- junto de todos los puntos de R n exteriores a S se llama el exterior de S y se de- signa con ext S. Un punto que no es interior ni exterior a S se llama punto fron- tera de S. El conjunto de todos los puntos frontera de S es la frontera de S y se designa con as. Estos conceptos se representan en la figura 8.1. El exterior de S es el con- junto de todos los x tales que [x] > 1. La frontera de S la constituyen todos los x con 11 x 11 = 1. 8.3 Ejercicios 1. Sean f un campo escalar definido en un conjunto S y e un número real dado. El con- junto de todos los puntos x de S tales que [(x) = e se llama conjunto de nivel de f. (En un capítulo posterior se discutirán problemas geométricos y físicos en los que se pre- sentan conjuntos de nivel.) Para cada uno de los campos escalares siguientes, S es todo el espacio R". Hacer un dibujo para describir los conjuntos de nivel correspondientes a los valores dados de c. a) [(x, y) = x 2 + };2, C = 0,1,4,9. b)[(x,y) =e XY , c =e- 2 ,e- l , l,e,e 2 ,e 3 c) [(x, y) = cos (x + y), e = -1, O, t, tJ2, l. d).f(x,y,z)=x+y+z, c= -1,0,1. e) ft», y, z) = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 , e = O, 6,12. O f(x, y, z) = sen (x 2 + y2 + Z2), e = -1, -t, 0,! • ./2, 1. 2. En cada' uno de los casos siguientes, sea S el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano que satisfacen las desigualdades dadas. Hacer un gráfico mostrando el conjunto S y explicar, geométricamente, si S es o no abierto. Indicar la frontera de S en el gráfico. a) x 2 + y2 < 1. h) 1 ~ x ~ 2 Y 3 < y < 4. b) 3x 2 + 2y2 < 6. i) 1 < x < 2 y Y > O. e) [x] < l y Iyl < l. j) x ~ y. d) x ~ O y Y > O . k) x > y. e) [x] ~ l y Iyl ~ l . 1) y > x 2 y Ixl < 2. O x > O y Y < O. m) (x 2 + y2 - 1)(4 - x 2 - y2)' > O. g) xy < I . n) (2x - x 2 - y2)(X 2 + y2 - x) > O. 3. En cada uno de los siguientes casos, sea S el conjunto de todos los puntos (x, y, z), en el espacio tri-dimensional, que satisfacen las desigualdades dadas y determinar si S es o no abierto. a) Z2 - x 2 - y2 - l > O. b) Ixl < 1, Iyl < 1, Y Izl < l. c) x + y + z < l. d) Ixl ~ 1, Iyl < 1, Y [a] < l. e) x + y + z < 1 y x > O, y> O, z > O. O x 2 +4y2+4z 2 -2x+16y+40z+113 <O.
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Ejercicios 301 4. a) Si A es un conjunto abierto en un espacio de dimensión n y si xl E A, demostrar que el conjunto A - {x}, obtenido suprimiendo de A el punto x , es abierto. b) Si A es un intervalo abierto en la recta real y B un subintervalo de A cerrado, de- mostrar que A - B es abierto. (*) e) Si A Y B son intervalos abiertos en la recta real, demostrar que A (l B Y A v B son abiertos. d) Si A es un intervalo cerrado en la recta real, demostrar que su complemento (res- pecto a la recta real completa) es abierto. 5. Demostrar las siguientes propiedades de los conjuntos abiertos en R": a) El conjunto vacío 0 es abierto.
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