72 uma propriedade da busca em profundidade o

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7.2 Uma Propriedade da Busca em Profundidade O Algoritmo de busca em profundidade pode construir uma árvore com as arestas que ele percorre na busca. Esta árvore é chamada árvore de DFS. r Grafo exemplo r v w Árvore de DFS do grafo acima Vértice (v) será um ancestral de w em uma árvore t com raiz r se v estiver no único caminho entre w e r em t. r Lema: seja T uma árvore de DFS de um grafo G. Então cada aresta de G: 1. pertence a T ou; 2. conecta dois vértices em G, um dos quais é ancestral do outro em T. Prova: seja (v,z) uma aresta de G. Suponha que v seja visitado por DFS antes de z. Então uma de duas coisas ocorre: 1. a partir de v, visita-se z. Então (v,z) pertence à arvore de DFS. 2. z não é visitado pois, a partir de v, visitamos outros vértices que visitaram z: 29
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v1 2 4 5 z 3 Então v é ancestral de z. Prova de que o algoritmo HaCiclo funciona: Se, partindo de v, encontramos um vértice z já marcado, então v é ancestral de z na árvore de DFS. Isto implica que existe um caminho entre v e z que, juntamente com a aresta (v, z), formam um ciclo: v z 7.3 Caminhos Definição: Um grafo G não dirigido é Eureliano se existe um caminho fechado (circuito) que inclui cada aresta de G. Este caminho é chamado de “caminho Eureliano”. Arestas em um circuito não se repetem. Assim, um caminho Eureliano contém cada aresta do grafo exatamente uma vez. Exemplo: 4 1 G: Caminho 8 5 3 2 Eureliano: 7 6 Teorema: Um grafo conectado G é Eureliano se e somente se o grau de cada vértice de G é par. A prova é feita por contradição: admita que um vértice possui grau ímpar. O caminho Eureliano passará por ele um certo número de vezes e, a cada vez, utilizará duas arestas (uma para entrar e outra para sair). Então sobrará uma única aresta que não poderá ser utilizada no caminho: contradição, o que prova que a hipótese está 30
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correta. A prova é dada pelo algoritmo para encontrar um caminho Eureliano, que é dado a seguir. A partir de um vértice v qualquer, comece a percorrer o grafo sem passar por nenhuma aresta duas vezes. Como o grau de cada vértice é par, podemos sempre entrar em um novo vértice por uma aresta e sair por outra: Como o número de vértices de G é finito, em algum momento retornaremos a v. Como nenhuma aresta foi usada duas vezes, temos um circuito P. Note que este circuito pode não conter todos os vértices do grafo: • • • 1 • • G: Circuito: 4 P 2 3 Agora construímos G’ retirando de G as arestas do circuito encontrado acima. O grau de cada vértice em G’ é par pois o número de arestas removidas de cada vértice é par. G’ pode não ser conectado. Sejam G’ 1 , G’ 2 , … G’ k os componentes conexos de G’.
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