Ces conditions sont pr esentes en de nombreux points

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Ces conditions sont pr´ esentes en de nombreux points de ce type de structures. Nous rapellons les grandeurs et relations utiles en ´ elasticit´ e tridimensionnelle : (voir tableau 2.1) Le mˆ eme jeu de relations est pr´ esent dans le cas de la th´ eorie des poutres, seules les grandeurs utilis´ ees sont d´ ecrites `a l’aide d’objets que l’on appelle torseur. Ce sont les mˆ emes ˆ etres math´ ematiques que ceux que vous avez utilis´ e en m´ ecanique des solides ind´ eformables pour d´ ecrire leur mouvement. Ils seront ici simplement associ´ es aux d´ eplacement et rotation d’une section droite, aux d´ eformations d’une section droite et aux efforts g´ en´ eralis´ es (r´ esultante et moment) sur cette section. ` a l’´ echelle macroscopique locale 3D Nous ne rapellerons que quelques d´ efinitions de l’´ elasticit´ e lin´ eaire isotrope. – Les diff´ erentes possibilit´ es de d´ eformations d’un volume ´ el´ ementaire (dx dy dz). On d´ efinit les 3 d´ eformation d’allongement (ou de contraction) xx , yy , zz , ainsi que les 6 d´ eformations de cisaillement xy , yz , zx , yx , zy , xz . – Tenseur des d´ eformations. Ces 9 composantes peuvent ˆ etre ordonn´ ees dans une matrice as- soci´ ee au tenseur des d´ eformations ¯ ¯. Ce tenseur est sym´ etrique de part sa construction. Il y a donc 6 composantes ind´ ependantes. – Tenseur des contraintes. Il est associ´ e aux contraintes agissant sur chaque facette d’un cube. La facette de normale ~x subit les contraintes σ xx , σ yx , σ zx . Nous appellerons E le module de Young du mat´ eriau (en Pa). Nous appellerons ν le coefficient de Poisson du mat´ eriau (sans unit´ e). Nous appellerons G = E 2(1+ ν ) le module de Coulomb du mat´ eriau (en Pa). Le loi de comportement permettant de passer du tenseur des d´ eformations au tenseur des contraintes est, ¯ ¯ = 1 + ν E ¯ ¯ σ - ν E trace ( ¯ ¯ σ ) ¯ ¯ I d , (2.1) 7 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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eplacements eformations contraintes ~u ¯ ¯ ¯ ¯ σ condition aux limites ~u = ~u d sur Γ u en d´ eplacement passage + ´ eq. compatibilit´ e + ´ eq. compatibilit´ e eplacements ik,jl - kj,il = ¯ ¯ = 1 / 2 ¯ ¯ grad ~u + T ¯ ¯ grad ~u (Beltrami) il,jk - lj,ik (1 + ν σ ij + 2 ( trace ¯ ¯ σ ) ∂x i ∂x j = 0 si ¯ ¯ gradf = 0 eformations pour i 6 = j et l 6 = k loi de comportement ¯ ¯ = 1+ ν E ¯ ¯ σ - ν E trace ( ¯ ¯ σ ) ¯ ¯ I d ¯ ¯ σ = 2 μ ¯ ¯+ λtrace ( ¯ ¯) ¯ ¯ I d ~ div ¯ ¯ σ + ρ ~ f = 0 ´ equations ´ eq. de Navier : ∂σ xx ∂x + ∂σ xy ∂y + ∂σ xz ∂z + f x = 0 d’´ equilibre ( λ + μ ) ~ grad ( div~u ) ∂σ xy ∂x + ∂σ yy ∂y + ∂σ yz ∂z + f y = 0 (statique) + μdiv ( ¯ ¯ grad~u ) + ρ~u = 0 ∂σ xz ∂x + ∂σ yz ∂y + ∂σ zz ∂z + f z = 0 condition aux limites ~ T ( P,~n ) = ¯ ¯ σ~n = ~ F d sur Γ f en contraintes N = R S σ xx dS passage T y = R S σ xy dS contrainte T z = R S σ xz dS torseur M x = R S σ θx rdS M fy = R S σ xx zdS M fz = - R S σ xx zdS Table 2.1 – Equations de la m´ ecanique des solides d´ eformables dans le cas d’une mod´ elisation tridimensionnelle 8 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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