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. . v i 1 v i v i +1 . . . v n = v 1 . . . v i 1 cv i v i +1 . . . v n Denote by E ( c, i ) this elementary matrix which multiplies the i th row of the identity by the nonzero constant, c. Then from what was just discussed and the way matrices are multiplied, E ( c, i ) a 11 a 12 · · · · · · · · · · · · a 1 p . . . . . . . . . a i 1 a i 2 · · · · · · · · · · · · a ip . . . . . . . . . a j 2 a j 2 · · · · · · · · · · · · a jp . . . . . . . . . a n 1 a n 2 · · · · · · · · · · · · a np equals a matrix having the columns indicated below. = E ( c, i ) a 11 . . . a i 1 . . . a j 1 . . . a n 1 , E ( c, i ) a 12 . . . a i 2 . . . a j 2 . . . a n 2 , · · · , E ( c, i ) a 1 p . . . a ip . . . a jp . . . a np = a 11 a 12 · · · · · · · · · · · · a 1 p . . . . . . . . . ca i 1 ca i 2 · · · · · · · · · · · · ca ip . . . . . . . . . a j 2 a j 2 · · · · · · · · · · · · a jp . . . . . . . . . a n 1 a n 2 · · · · · · · · · · · · a np This proves the following lemma. Lemma 8.1.4 Let E ( c, i ) denote the elementary matrix corresponding to the row operation in which the i th row is multiplied by the nonzero constant, c. Thus E ( c, i ) involves multiplying the i th row of the identity matrix by c. Then E ( c, i ) A = B where B is obtained from A by multiplying the i th row of A by c . Saylor URL: The Saylor Foundation
8.1. ELEMENTARY MATRICES 135 Finally consider the third of these row operations. Denote by E ( c × i + j ) the elementary matrix which replaces the j th row with itself added to c times the i th row added to it. In case i < j this will be of the form 1 0 · · · · · · · · · 0 0 0 . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . c · · · 1 . . . . . . . . . 0 0 · · · · · · · · · · · · 0 1 Now consider what this does to a column vector. 1 0 · · · · · · · · · 0 0 0 . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . c · · · 1 . . . . . . . . . 0 0 · · · · · · · · · · · · 0 1 v 1 .

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