En el segundo término del segundo miembro de 825 el

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En el segundo término del segundo miembro de (8.25) el factor E/b, v) _ O porque v- O cuando y- O. El cociente Ilvll/llyll permanece acotado porque, según (8.22) y (8.20) tenemos Ilvll ~ M,(a) lIyll + lIyll IIE,(a,Y)II. Por consiguiente los dos términos del segundo miembro de (8.25) tienden a O cuando y - O, así que E(a, y) - O. De este modo, de (8.24) y (8.21) obtenemos la fórmula de Taylor h(a + y) - h(a) =f'(b)g'(a)(y) + Ilyll E(a,y), dondeE(a,y)- O cuando y- O. Esto demuestra que h es diferenciable en a y que la diferencial h' (a) es igual a la composición f' (b) o g' (a) . 8.21 Forma matricial de la regla de la cadena Sea h = f o g, donde g es diferencíable en a y f diferenciable en b = g(a). La regla de la cadena establece que h'(a) =f'(b) og'(a). Podemos expresar la regla de 1~ cadena en función de las matrices jacobianas Dh(a), Df(b), y Dg(a)que representan las transformaciones lineales h'(a), f'(b), y g'(a), respectivamente. Puesto que la composición de transformaciones lineales corresponde a la multiplicación de sus matrices, obtenemos (8.26) Dh(a) = Df(b) Dg(a), donde b = g(a).
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Forma matricial de la regla de la cadena 333 Esta es la llamada forma matricial de la regla de la cadena. También puede es- cribirse como un conjunto de ecuaciones escalares expresando cada matriz en función de sus elementos. Supongamos que a E RP, b = g(a) E R" , y f(b) E Rm. Entonces h(a) E Rm y podemos escribir La matriz Dh(a) es mXp, la matriz Df(b) es m»;n, y Dg(a) es una matriz n x p, y vienen dadas por La ecuación matricial (8.26) es equivalente a mp ecuaciones escalares, n Djh;(a) = !Dd;(b)Djgk(a), para i = 1,2, ... , m k~l y j=1,2, ... ,p. Estas ecuaciones expresan las derivadas parciales de los componentes de h en función de las derivadas parciales de los componentes de f y g. EJEMPLO 1. Extensión de la regla de la cadena para campos escalares. Supongamos que f es un campo escalar (m = 1). Entonces h también 10 es y existen p ecuaciones en la regla de la cadena, una para cada una de las derivadas parciales de h: n Djh(a) = ! Dkf(b)D jgk(a), para j = 1, 2, ... , p. k=l El caso particular p = 1 ya se consideró en la sección 8.15. Entonces se tiene la única ecuación, n h'(a) = ! Dd(b)g~(a). k~l Consideremos ahora p = 2 Y n = 2. Pongamos a = (s, t) y b = (x, y). Los componentes, x e y están ligados a s y t por las ecuaciones x = gl(S, t),
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334 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales La regla de la cadena nos da un par de ecuaciones para las derivadas parciales de h: D¡h(s, t) = DJ(x, y) D¡g¡(s, t) + DJ(x, y) D¡g2(S, t), D 2 h(s, t) = DJ(x, y) D~¡(s, t) + DJ(x, y) D 2 g 2 (S, t). Empleando el signo a, también se pone este par de ecuaciones en la forma (8.27) oh of ox of ay -=--+--, os OX os ayos oh of ox of ay -=--+--. ot OX ot ay ot EJEMPLO 2. Coordenadas polares. La temperatura de una placa delgada se representa por un campo escalar f, siendo f(x, y) la temperatura en (x, y). Introduciendo las coordenadas polares x = r cos (), y = r sen (), la temperatura se convierte en una función de r y () determinada por medio de la ecuación q;(r, ()) = f(r cos (), r sen ()).
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