Précédentes donne un autre ensemble x 1 1 x 2 1 x 3 1 et ainsi de Suite

Précédentes donne un autre ensemble x 1 1 x 2 1 x 3

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Précédentes donne un autre ensemble x 1 1 , x 2 1 , x 3 1 et ainsi de Suite. Méthodes itératives: JACOBI Méthodes itératives. Pr Rachid SEHAQUI. Université Hasan II Casablanca. Faculté des Sciences Aïn Chock systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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2. 2 Méthode de GAUSS-SEIDEL. On reprend le calcul comme précédemment . Pour le système précédent par exemple, on choisit un ensemble x 1 0 , x 2 0 , X 3 0 . On porte x 2 0 , x 3 0 dans la première équation et on obtient : C’est cette nouvelle valeur de x 1 , et non pas x 1 0 , qui est portée dans la deuxième équation du système, donnant : Méthodes itératives: GAUSS -SEIDEL Méthodes itératives. Pr Rachid SEHAQUI. Université Hasan II Casablanca. Faculté des Sciences Aïn Chock systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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De même dans la troisième équation on porte x 1 1 et x 2 1 et non Pas x 1 0 et x 2 0 et on obtient : Lorsqu’une inconnue est utilisée, c’est automatiquement la plus récente valeur calculée . Ceci assure une convergence des calculs plus rapide que la méthode de JACOBI. On arrête les calculs lorsque les valeurs successives sont suffisamment voisines. Pour cela on peut utiliser , Méthodes itératives: GAUSS -SEIDEL Méthodes itératives. Pr Rachid SEHAQUI. Université Hasan II Casablanca. Faculté des Sciences Aïn Chock systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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Soit le critère de convergence absolue Soit le critère de convergence relative Pour les systèmes les matrices sont de rang élevé, il n’est pas commode de faire le test de convergence sur chaque inconnue x j . Dans ce cas, on fait le test seulement sur certaines inconnues que l’on choisit, soit les quantités suivantes : Méthodes itératives: Critères de convergence systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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ou ou ou La convergence du procédé ne dépend pas du choix des valeurs Initiales x j 0 , mais seulement des valeurs des coefficients. On montre que la convergence est assurée si on a pour chaque valeur i (c’est - à -dire pour chaque ligne), la relation Méthodes itératives: Critères de convergence systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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Autrement dit il ya convergence si chaque élément diagonal est supérieur ou égal, en module, à la somme des de modules des autre éléments de sa ligne. 2. 3 Facteur de relaxation Si la convergence existe, sa rapidité dépend du choix de x j 0 . En Effet plus les valeurs initiales sont proches des valeurs réelles et plus la convergence est rapide. L’utilisation d’un facteur de relaxation λ défini par x j *(1) = x j (0) + λ (x j (1) x j (0) ) λ < 1 permet d ’accélérer la convergence. λ appelé « facteur de relaxation » (dans la pratique il est compris entre 0 et 2). Méthodes itératives: Facteur de relaxation systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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Pour λ > 2 , le processus diverge. Pour s’approcher de la valeur recherchée rapidement, on prend 1 < λ < 2 dans un processus itératif déjà convergent et 0 < λ < 1 pour un processus divergent. Les méthodes itératives jouent un rôle très important dans la résolution numérique de systèmes de grandes tailles.
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  • Fall '16
  • matrice diagonale, Mathématiques, Analyse numérique, Décomposition LU

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