Attention certaines bornes ont été modifiées par

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Attention, certaines bornes ont été modifiées par rapport à l’énoncé distribué. 1. IPP (la fraction rationnelle à côté du ln se primitive bien). On continue par DES, ou on peut éviter cette DES par changement de variable y = 1 x . Réponse : 3 40 ln(2)+ 1 4 Arctan(3) 1 4 Arctan(2) . 2. Cvd y =ln( x ) puis DES. Réponse : 1 6 ln(3) 1 3 ln(2)+ 1 3 · π 6 . 3. Cdv y = 1 x 2 . Réponse : 1 3 . 4. Mettre cos 2 ( x ) en facteur au dénominateur et faire le cdv y =tan( x ) . Réponse : π 3 3 . 5. Fonction impaire (et définie avec les nouvelles bornes considérées) sur l’intervalle d’intégration. Réponse : 0 . 6. Cdv y =sin( x ) puis linéarisation du cos 6 . On peut aussi isoler un terme 1 x 2 , et faire une IPP, de sorte à réduire l’exposant, et recommencer jusqu’à obtenir la dérivée de l’ Arcsin (ou à l’étape précédente, l’aire d’un quart de disque). Réponse : 5 π 32 . 7. Mise sous forme canonique, cdv y : x +1 2 puis y = sin( t ) , et enfin linéarisation. On peut s’arrêter après le premier cdv et reconnaître, à un facteur près, l’aire d’un demi-disque. Réponse : π . 8. Cdv x = y 6 . Réponse : 3 π 2 47 35 . 9. cdv y =ln( x ) et IPP itérée. Réponse : 2 n summationdisplay k =0 ( 1) k (ln(2)) n k n ! ( n k )! . 10. Le polynôme sous la racine se factorise en ( x +2) 2 ( x 4) . Poser alors y = x 4 . Remarquer au passage qu’il s’agit d’une intégrale impropre. Réponse : 2 6 Arctan parenleftBig 1 6 parenrightBig . 4
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11. cdv y = radicalBig 1 x 1+ x , puis IPP pour diminuer le degré des pôles. Réponse : π 2 1 . 12. Faire partir le x du numérateur dans une intégration u /u 2 , pour le reste, faire une mise sous forme canonique, puis écrire au numérateur 1=1+ x 2 x 2 afin de pouvoir faire une IPP. Réponse : 3 130 + 7 6 ( Arctan 2 3 Arctan 1 3 ) 13. cdv y = x +1 , Réponse : 2 2 2+2ln(2 2 2) . 14. IPP, puis changement de variable y = x . On est ramené à une fraction rationelle dont le dénominateur est 1+ y 4 =(1+ 2 y + y 2 )(1 2 y + y 2 ) . Terminer avec une DES. Réponse : attendre l’année prochaine. 15. Plusieurs façons de procéder : IPP puis cdv, ou cdv puis IPP, ou encore cdv global y =ln(1+ x ) , soit x =(e y 1) 2 . Terminer par une IPP pour les y e y . Réponse : 1 2 . Indications ou solutions pour l’exercice 5 – Pour plus de sécurité, et en attendant mieux, travailler d’abord sur l’intervalle [1 , A ] . On peut faire un cdv y = 1 x , qui nous ramène à de l’Arcsin. Réponse : π 2 . Indications ou solutions pour l’exercice 6 – Cdv y = x , puis mise sous forme canonique de ce qui reste sous la racine, et cdv adéquat. On est ramené à l’aire du quart de disque integraldisplay 1 0 radicalbig 1 t 2 d t . Réponse : π 8 . Indications ou solutions pour l’exercice 7 – cdv y = x , puis cela se primitive à vue.
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  • Fall '19
  • Mathématiques, Fonction trigonométrique, Continuité

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