Exercice 38 oral x soit a b un intervalle on dit que

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Exercice 38 (Oral X) Soit [ a, b ] un intervalle. On dit que f définie sur [ a, b ] est réglée, si elle admet une limite à gauche et à droite en tout point. Montrer que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction réglée est au plus dénombrable. Exercice 39 1. Soit ( u n ) n N une suite telle que pour tout ( m, n ) N 2 , u n + m lessorequalslant u n + u m . Montrer que ( u n n ) n N * tend vers une limite −∞ ou finie. 2. Soit ( v n ) n N une suite à valeurs dans R + , telle que pour tout ( m, n ) N 2 , v m + n lessorequalslant v m v n . Montrer que ( n v n ) n N * converge et que sa limite est inf n N ( n v n ) . Exercice 40 Soit ( a n ) et ( b n ) deux suites complexes tendant vers 0 . On suppose qu’il existe M R + tel que pour tout n N , n summationdisplay k =1 | b k | lessorequalslant M . Montrer que n summationdisplay k =1 a k b n +1 k tend vers 0 . Exercice 41 – Soit pour tout n N , u n = n − ⌊ n . Montrer que tout x [0 , 1] est valeur d’adhérence de ( u n ) . Exercice 42 – Montrer que si u n +1 u n 0 , alors l’ensemble des valeurs d’adhérence de ( u n ) est un intervalle. Exercice 43 1. Soit α ] 1 , 1[ , et soit ( x n ) une suite bornée telle que x n + αx 2 n converge. Montrer que ( x n ) converge. 2. Montrer que le résultat précédent peut être mis en défaut lorsque α =1 . 3. Soit β ] 2 , 2[ et ( u n ) une suite telle que u n = O ( 1 n ) , et telle que u n + βu 2 n + 1 n . Déterminer un équivalent de u n . Exercice 44 (Caractérisation de la convergence au sens de Cesàro, oral X) Soit ( a n ) n greaterorequalslant 0 une suite réelle positive, majorée. Montrer qu’il y a équivalence entre : (i) S n = 1 n n summationdisplay k =0 a n −→ 0 (ii) Il existe A une partie de N de densité nulle (c’est-à-dire lim n + | A [[0 , n 1]] | n −→ 0 ) tel que lim n + n negationslash∈ A a n =0 . Exercice 45 – Soit a et b deux réels tels que a < b . Soit f :[ a, b ] [ a, b ] une fonction continue, u 0 [ a, b ] et pour tout n N , u n +1 = f ( u n ) . On suppose de plus que u n +1 u n −→ 0 . Montrer que ( u n ) n N converge. Exercice 46 (Oral X) Soit ( u n ) n N * définie par u 1 =1 , u 2 = u 3 =2 , u 4 = u 5 = u 6 =3 , etc. Elle prend une fois la valeur 1, deux fois la valeur 2, trois fois la valeur 3 et ainsi de suite. Donner une expression du terme général (à l’aide de la fonction partie entière) et un équivalent de u n . Exercice 47 (Oral X) Soit c > 0 et f :[0 , c ] [0 , c ] une fonction continue, telle que au voisinage de 0 , f ( x )= x ax α + o ( x α ) , a > 0 et α > 1 . 1. Montrer que pour u 0 assez petit, ( u n ) définie par u n +1 = f ( u n ) pour tout n N converge vers 0 . 2. Déterminer alors un équivalent de u n . 3. Traiter l’exemple de x mapsto→ sin x et x mapsto→ ln(1+ x ) . Exercice 48 (Oral ENS) Soit ( u n ) n N une suite de réels vérifiant u n +1 = | u n n | pour tout n . Déterminer un équivalent de u n .
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  • Fall '19
  • nombre réel, entier naturel, Mathématiques, Continuité, Compacité, A. Troesch

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