3 fx x 2 x 4 x4 Soluci\u00f3n Aplique el criterio de continuidad en un punto para

3 fx x 2 x 4 x4 solución aplique el criterio de

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3. f(x) = x 2 x 4 ; x=–4 Solución Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir: a) f(4) = no está definido b) x 4 x 4 (x 4) x 2 lim lim x 4 = (x 4) x 4 1 1 lim 4 ( x 2) x 2 = = + + c) x 4 lim f(x) f(4) Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad de primera clase x= 4, entonces se puede redefinir la función f como sigue: = = * 1 ; si x 4 4 f (x) x 2 ; si x 4 x 4 4. f(x) = x 1; x 2 2 ;x 2 + > ; x = 2 Solución Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir: a) f(2) = 3 b) Analice los límites laterales. x 2 lim f(x) 2 + = = + = x 2 x 2 lim f(x) lim (x 1) 3 Entonces, x 2 lim f(x) no existe. Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad de segunda clase en x= 2. 5. f(x) = 2 2 x 1 ; x 1 x 1 x 3; x 1 < − + ≥ − ; x = –1 Solución Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad. Es decir:
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CAPITULO 2 Límites y Continuidad | 165 a) f(–1) = –2 b) Analice los límites laterales. 2 x 1 x 1 lim f(x) lim (x 3) 2 + + →− →− = = − 2 x 1 x 1 x 1 x 1 lim f(x) lim lim (x 1) 2 x 1 →− →− →− = = = − + Entonces, x 2 lim f(x) = –2 c) x 1 lim f(x) f( 1) →− = Por lo tanto, la función f es continua en x=–1. II. En los siguientes ejercicios enumerar todos los valores de x para los cuales la función dada no es continua y decir que tipo de discontinuidad posee. 1. x 1 f(x) x 1 + = Solución Aplique el criterio de continuidad en un x=1. Es decir: a) f(1) no existe b) x 1 x 1 x 1 lim f(x) lim x 1 →− →− + = = ∞ Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad no evitable de segunda clase en x=–1. 2. f(x) = 2 3x 2 x 3x 18 Solución Factorice el denominador y se tiene: f(x) = 2 3x 2 3x 2 (x 6)(x 3) x 3x 18 = + Aplique la definición de continuidad en un punto para analizar la continuidad en los puntos x 6;x 3 = = − . Es decir: En x=–3 a) f(–3) no existe b) x 3 x 3 3x 2 11 lim f(x) lim (x 6)(x 3) 0 →− →− = = = ∞ + Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad no evitable de segunda clase en x=–3. En x=6 a) f(6) no existe b) x 6 x 6 3x 2 16 lim f(x) lim (x 6)(x 3) 0 = = = ∞ + Por lo tanto, la función f tiene una discontinuidad no evitable de segunda clase en x=6.
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166 | CAPITULO 2: Límites y Continuidad 3. f(x) = 2x 3; x 1 x 2 ; x 1 6x 1; x 1 + < + = > Solución Aplique el criterio de continuidad en un punto para analizar la continuidad en el punto x=1. Es decir: a) f(1)=3 b) Analice los límites laterales x 1 x 1 lim f(x) lim (6x 1) 5 + + = = x 1 x 1 lim f(x) lim (2x 3) 5 + = + = Entonces, x 1 lim f(x) 5 = c) x 1 lim f(x) f(1) Por lo tanto, la función f tiene discontinuidad evitable en x=1 y su extensión se define + < = = > * 2x 3 ; x 1 f (x) 5 ; x 1 6x 1; x 1 4. Señale el tipo de discontinuidad en cada función.
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