A constante de hubble sera dada por h 8πg 3 ρ 12 de

  • No School
  • AA 1
  • guihts2205
  • 768

This preview shows page 697 - 701 out of 768 pages.

a constante de Hubble ser´a dada por H = 8 πG 3 ρ 1 2 de modo que ˙ ρ = - 3 ρ 8 πG 3 ρ 1 2 ou seja ρ - 3 2 ˙ ρ = - 24 πG 673
Image of page 697
que pode ser integrado em rela¸c˜ ao ao tempo 2 ρ - 1 2 = 24 πG t ou seja, ρ = ( 6 πGt 2 ) - 1 para um Universo dominado por mat´ eria mas com press˜ao nula. Para um Universo dominado por radia¸c˜ ao, P = 1 3 u = 1 3 ρc 2 a equa¸c˜ ao 27.12.6 se transforma em ˙ ρ = - 3 ρ - 1 3 ρ H = - 4 = - 4 8 πGρ 3 1 2 ρ de modo que ρ - 3 2 ˙ ρ = - r 128 πG 3 que pode ser integrado em rela¸c˜ ao ao tempo 2 ρ - 1 2 = r 128 πG 3 t ou seja, ρ rad = 3 32 πGt 2 No in´ ıcio do Universo ele era dominado pela radia¸c˜ ao e esta radia¸c˜ ao era ermica, de modo que, independente de se o Universo ´ e fechado ou aberto, a densidade de massa das part´ ıculas relativ´ ısticas (f´otons, neutrinos, gr´avi- tons, . . . ) seguia a rela¸c˜ ao: ρ rel = 3 32 πGt 2 Se os f´otons fossem os ´unicos componentes relativ´ ısticos de massa–energia presentes, poder´ ıamos escrever ρ rel = ρ rad = aT 4 c 2 onde a ´ e a constante de densidade de radia¸c˜ ao de Stefan-Boltzmann, j´a que a densidade de energia para um corpo negro de temperatura T ´ e dada por 674
Image of page 698
u = aT 4 , e como E = mc 2 , ρ rad = u/c 2 . A densidade atual de energia em forma de radia¸c˜ ao ´ e diretamente obtida usando-se a temperatura da radia¸c˜ ao c´osmica do fundo do Universo, atualmente 2,73 K, obtendo-se ρ rad , atual = 4 , 5 × 10 - 31 kg / m 3 . Esta densidade ´ e muito menor que a densidade de mat´ eria luminosa, ρ lum , atual 10 - 29 kg / m 3 , de modo que vivemos em um Universo dominado pela mat´ eria. Entretanto, a altas temperaturas, a produ¸c˜ ao de pares de part´ ıculas–an- tipart´ ıculas ocorre. Se escrevermos ent˜ ao que ρ rel = rad = q aT 4 c 2 onde q ´ e um n´umero inteiro maior do que um dependente da temperatura, j´a que a produ¸c˜ ao de pares depende da temperatura, podemos escrever T = 1 q 1 / 4 3 c 2 32 πGa 1 / 4 t - 1 2 Esta equa¸c˜ ao nos diz que T = 10 12 K( kT = 86 , 25 MeV) para t=10 - 4 s e T = 10 10 K ( kT = 862 , 5 keV) para t=1 s e T = 7 × 10 8 K ( kT = 64 keV) para t=180 s. Comparando com a energia de repouso ( E = mc 2 ) do pr´oton, de 931 MeV, e do eletron, de 511 keV, vemos que para t 10 - 4 s, a cria¸c˜ ao e destrui¸c˜ ao de pares de b´arions–antib´ arions est´a em equil´ ıbrio termodinˆamico com a radia¸c˜ ao ambiente. 27.12.7 etrica de Robertson-Walker O f´ ısico-matem´ atico americano Howard Percy Robertson (1894-1979) e o matem´atico inglˆ es Arthur Geoffrey Walker (1909-), demonstraram, em 1935 e 1936, que a m´ etrica mais geral que satisfaz a condi¸c˜ ao de homogenei- dade e isotropia para a geometria do espa¸co-tempo ´ e a chamada m´ etrica de Robertson-Walker: ds 2 = c 2 dt 2 - a 2 ( t ) dr 2 1 - Kr 2 + r 2 ( 2 + sen 2 θ dφ 2 ) . Essa m´ etrica pode ser convertida para a forma de Friedmann, com um fator de renormaliza¸c˜ ao. Para a m´ etrica de Robertson-Walker, a componente (00) da equa¸c˜ ao de campo de Einstein se reduz a: ˙ a 2 a 2 - 8 πG 3 ρ = - K c 2 a 2 675
Image of page 699
Como na equa¸c˜ ao (27.3), podemos identificar a constante de Hubble como: H ( t ) = ˙ a ( t ) a ( t ) A trajet´oria de uma gal´axia que se move junto com a expans˜ao do Uni- verso ´ e dada por ( r, θ, φ ) =constante, enquanto que a trajet´oria de um f´oton satisfaz ds 2 = c 2 dt 2 - d 2 = 0. Portanto, a distˆancia que um f´oton per-
Image of page 700
Image of page 701

You've reached the end of your free preview.

Want to read all 768 pages?

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Stuck? We have tutors online 24/7 who can help you get unstuck.
A+ icon
Ask Expert Tutors You can ask You can ask You can ask (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes
A+ icon
Ask Expert Tutors