B el precio p y el ingreso correspondiente a la

b ) El precio p y el ingreso correspondiente a la utilidad máxima.
4. Cuando se producen q unidades de un cierto artículo, el costo total de
fabricación es de:
C ( q ) = 3 q
2
+ 5 q + 75
miles de pesos. ¿A qué nivel de producción será menor el costo medio por
unidad y cuál es éste?
5. El costo de mantenimiento de cierta flotilla de automóviles se ajusta a la
siguiente función: C ( t ) = e
t - 6
+ 2 mientras que el valor comercial de la
flotilla es V ( t ) = e
- t
. La suma de las dos funciones da como resultado la
función de reposición de la flotilla: R ( t ) = C ( t ) + V ( t ) donde t se mide en
años. Determine el tiempo óptimo y el valor óptimo correspondiente (el
óptimo ocurre cuando R ( t ) es mínimo).
25

6. ¿Para qué valor de x en [ - 1 , 4] está más inclinada la gráfica de la función
f ( x ) = 2 x 2 -
1
3
x 3 ? ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica
en ese punto?
7. Una proyección a 5 años en la tendencia de cierta población señala que
dentro de t años, la población será P ( t ) = - t
3
+ 9 t
2
+ 48 t + 50 miles de
personas:
a ) ¿En qué momento durante el período de 5 años, crecerá la población
con mayor rapidez?
b ) ¿En qué momento durante el período de 5 años, crecerá la población
con menor rapidez?
8. En cierta fábrica, el costo de puesta a punto es proporcional al número de
máquinas utilizadas, y el costo de operación es inversamente proporcional
al número de máquinas utilizadas. Demostrar que el costo total es mínimo
cuando el costo de puesta a punto es igual al costo de operación.
9. Un fabricante puede producir televisores a un costo de 250 dólares cada
uno y estima que si se venden a x dólares cada uno, los consumidores
comprarán 500 - x televisores por día. ¿A qué precio debe vender los
televisores el fabricante para maximizar el beneficio, cuántos televisores
debe vender y cuál es el máximo beneficio?
10. Multivisión ha hecho un estudio de los hábitos de sus suscriptores entre las
5:00 p.m. y medianoche. El estudio indica que el porcentaje de la población
adulta local que sintoniza Multivisión x horas después de las 5:00 p.m. es:
f ( x ) =
1
8
( - 2 x 3 + 27 x 2 - 108 x + 240) .
a ) ¿En qué momento entre las 5:00 p.m. y medianoche está sintonizado
Multivisión por el mayor número de personas?
b ) ¿En qué momento entre las 5:00 p.m. y medianoche está sintonizado
Multivisión por el menor número de personas?
11. Una ley económica establece que el beneficio se maximiza cuando el ingreso
marginal es igual al costo marginal.
a ) Use la teoría de extremos para explicar por qué esta ley es cierta.
b ) ¿Qué hipótesis sobre la forma de la curva de beneficio están implícitas
en esta ley?
12. Una compañía de autobuses alquila un autobús de 50 plazas a grupos
de 35 o más personas. Si un grupo contiene exactamente 35 personas,
cada persona paga $600 pesos. En grupos mayores, la tarifa de todos se
reduce en $100 pesos por cada persona que sobrepase las 35. Determinar el
tamaño del grupo para el cual los ingresos de la compañía serán mayores
así como los ingresos máximos.