Il suffit de multiplier le système par Ce qui donne Méthodes directes systèmes

Il suffit de multiplier le système par ce qui donne

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Il suffit de multiplier le système par : Ce qui donne : Méthodes directes systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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4 . Méthodes directes 3.1 Méthodes de Gauss Soit donne le système Ax = b et supposons , on peut éliminer la variable x 1 dans les équations 2 à n a l'aide de l’équation 1, c.à.d , on calcule et on remplace la ligne par De cette manière, on obtient le système équivalent: Méthodes directes : Méthode de Gauss systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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Méthodes directes : Méthode de Gauss systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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Le système (S 1) contient un sous- système de dimension n – 1 sur lequel on peut répéter la procédure pour éliminer x 2 dans les équations 3 à n. On multiplie la ligne 2 de S1 par et on la soustrait de la ligne i. Apres n-1 étapes on obtient un système triangulaire de la forme: Méthodes directes : Méthode de Gauss systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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qui se résoud facilement: sont les multiplicateurs. sont les pivots. Méthodes directes : Méthode de Gauss systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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Exemple Méthodes directes : Méthode de Gauss systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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Algorithme de gauss Méthodes directes : Méthode de Gauss systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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4.2 Factorisation LU Méthodes directes :D écomposition LU systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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Exemple systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes :D écomposition LU
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Exemple 1 Admet pour solution : Avec : Factorisation LU La décomposition LU n’est pas unique. On peut écrire un nombre réel comme le produit de deux autres nombres d’une infinité de façons, il en est de même pour les matrices. systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes :D écomposition LU
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Pour illustrer la non- unicité de la décomposition LU, il suffit de vérifier les égalités : Exemple 1 4. 2 1 Décomposition de Crout Pour obtenir cette décomposition ( factorisation ) nous considérons une matrice de dimension 4 sur 4 , le cas général étant similaire. On doit dons déterminer les coefficients des matrices L et U de telle sorte que la diagonale de U soit composée de 1, on doit avoir : systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes LU factorisation de Crout
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Il ya exactement 16 inconnues ( dans le cas général) 1. Produit de la ligne L par la première colonne de U La première colonne de L est tout simplement la première colonne de A. 2 . Produit de la première ligne de L par les colonnes de U on obtient respectivement : systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes LU factorisation de Crout
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On donc la première ligne de U si 3. Produit des lignes de L par la deuxième colonne de U . Les différents produits donnent : Et la deuxième colonne de L est connue. 4 . Produit de la deuxième ligne de L par les colonnes de U . On trouve Immédiatement que : systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes LU factorisation de Crout
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5. Produit des lignes de L par la troisième colonne de U . La même suite d’opérations donne : Ce qui permet d’obtenir la troisième colonne de L .
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  • Fall '16
  • matrice diagonale, Mathématiques, Analyse numérique, Décomposition LU

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