75 3 prove que a aresta de menor custo em um grafo g

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75 (3) Prove que a aresta de menor custo em um grafo G pertence à AECM de G. 61
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15 Coloração Seja G (V, E) um grafo e C = C i 1 < i < n um conjunto de cores. Uma coloração de G é a atribuição de cores de C para todos os vértices de G de tal forma que vértices adjacentes tenham cores diferentes. Ex.: C = v (ermelho), a (zul), p (reto) v v a p p a Uma K-coloração é uma coloração que utiliza K cores. Definição : O número cromático de um grafo G, indicado por X (G), é o menor número de cores K para o qual existe uma K - coloração de G. No grafo acima, X (G) = 3, pois o “triângulo” v a p impede que X (G) seja 2. Um grafo completo de n vértices, também conhecido por K n necessita de n cores, já que cada vértice está ligado a todos os outros: 1 1 3 2 3 2 4 Então, X (K n ) = n. Obviamente, se um grafo G possuir K n como subgrafo, então X (G) X (K n ) ou X (G) n. Um grafo bipartido pode ser dividido em dois conjuntos U e V tal que não existam arestas dentro de cada conjunto: U V K n ) Então, todo grafo bipartido pode ser colorido com apenas duas cores. 62
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O Problema das Quatro Cores: Dado um mapa qualquer (no plano), podemos colori-lo com apenas quatro cores? Por colorir queremos dizer que regiões adjacentes são coloridas com cores diferentes: 4 3 2 1 1 3 2 De fato, quatro cores podem colorir qualquer mapa no plano, o que é conhecido por cartógrafos a séculos. Contudo, este teorema só foi provado em 1976 usando teoria dos grafos e um computador. Este problema pode ser transformado em um problema de grafos associando-se cada região a um vértice. Existe uma aresta entre dois vértices se as duas regiões correspondentes forem adjacentes (fazem fronteira) no mapa. Por exemplo, o mapa da esquerda é transformado no grafo da direita. 1 4 1 4 5 2 3 5 2 3 O problema agora é provar que qualquer grafo construído desta forma pode ser colorido com no máximo quatro cores. Todo grafo obtido de um mapa é planar. Se não fosse, haveria fronteira entre duas regiões que não fazem fronteira no plano seria uma fronteira no espaço. Veja figura abaixo, onde a ligação preta indica uma ponte acima do papel. Lembre-se de que um grafo não planar pode ser colocado em um plano desde que algumas arestas liguem alguns vértices no espaço: 63
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K 5 α a aresta pontilhada é uma aresta no espaço. 15.1 Exercícios 76 O grafo da figura abaixo mostra o mapa rodoviário de um país. Os vértices representam cidades e os arcos, estradas. Em cada cidade, o governo espera construir uma das seguintes obras: um teatro, um centro de esportes, uma piscina. Isto é, apenas uma e sempre uma obra em cada cidade. Decidiu-se que duas cidades ligadas por uma estrada não devem possuir obras semelhantes. É possível atribuir obras a cidades de acordo com essa restrição ? Que problema em teoria dos grafos é equivalente a este ?
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